6129. Određeni integrali

Određeni integral po definiciji: interval $[a,b]$ podelimo tačkama $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b ,$ u svakom podintervalu izaberemo tačku $\xi_i$ i obrazujemo integralnu sumu $\sigma_n=\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i) .$ Ako ove sume teže istom broju kada najveća dužina podintervala teži nuli, taj broj je $\int_a^bf(x)\,dx .$ Ovde su svi podintervali dužine $h ,$ a za $\xi_i$ biramo levi kraj, $\xi_i=x_i=a+ih :$

\sigma_n=\sum_{i=0}^{n-1}e^{a+ih}\cdot h=he^a\left(1+e^h+e^{2h}+\dots+e^{(n-1)h}\right)

U zagradi je zbir prvih $n$ članova geometrijskog niza sa količnikom $q=e^h$ ; formula je $1+q+\dots+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1} .$ Pošto je $nh=b-a ,$ važi $e^{nh}=e^{b-a} :$

\sigma_n=he^a\cdot\frac{e^{nh}-1}{e^h-1}=he^a\cdot\frac{e^{b-a}-1}{e^h-1}=\left(e^b-e^a\right)\cdot\frac{h}{e^h-1}

Kada $n\to\infty ,$ dužina $h=\frac{b-a}n$ teži nuli. Koristimo poznatu graničnu vrednost $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$ ; brojno, za $h=0{,}1$ je $\frac{h}{e^h-1}\approx0{,}9508 ,$ a za $h=0{,}01$ je $\approx0{,}9950 :$

\int_a^be^x\,dx=\lim_{n\to\infty}\sigma_n=\left(e^b-e^a\right)\lim_{h\to0}\frac{h}{e^h-1}=e^b-e^a

Primer za $a=0 ,$ $b=1 :$ integralne sume za $n=10;\ 100;\ 1000$ su $1{,}6338;\ 1{,}7097;\ 1{,}7174$ i približavaju se broju $e-1\approx1{,}7183 .$ Isti rezultat daje i Njutn-Lajbnicova formula: $\left.e^x\right|_a^b=e^b-e^a ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int_a^be^x\,dx=e^b-e^a .$

Započni učenje

Privatni časovi

346

Beleške