6125. Određeni integrali

Drugi sabirak zapisujemo kao stepen broja $3 :$ $\left(\frac13\right)^{2x-1}=3^{-(2x-1)}=3^{1-2x} .$ Primitivne funkcije nalazimo tablicom $\int a^s\,ds=\frac{a^s}{\ln a}$ i smenama $s=1-x ,$ odnosno $s=1-2x :$

\int3^{1-x}\,dx=-\frac{3^{1-x}}{\ln3}+C,\qquad\int3^{1-2x}\,dx=-\frac{3^{1-2x}}{2\ln3}+C

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Prvi sabirak: $-\frac{3^{-2}-3^1}{\ln3}=\frac{3-\frac19}{\ln3}=\frac{26}{9\ln3} .$ Drugi sabirak: $-\frac{3^{-5}-3^1}{2\ln3}=\frac{3-\frac1{243}}{2\ln3}=\frac{364}{243\ln3} .$ Sabiramo, uz $\frac{26}9=\frac{702}{243} :$

\int_0^3\left(3^{1-x}+3^{1-2x}\right)dx=\frac{702}{243\ln3}+\frac{364}{243\ln3}=\frac{1066}{243\ln3}

Brojno je $\frac{1066}{243\ln3}\approx3{,}9931 .$ Dakle, $\int_0^3\left(3^{1-x}+\left(\frac13\right)^{2x-1}\right)dx=\frac{1066}{243\ln3} .$

Započni učenje

Privatni časovi

345.e

Beleške