6124. Određeni integrali

Iz $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ sledi $\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\sin^2\alpha}-1 .$ Na $\left[\frac\pi8,\frac\pi4\right]$ je $2x\in\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right] ,$ pa je $\sin2x>0 :$

\operatorname{ctg}^22x=\frac1{\sin^22x}-1

Smenom $s=2x$ i tablicom $\int\frac{ds}{\sin^2s}=-\operatorname{ctg}s$ dobijamo primitivnu funkciju:

\int\left(\frac1{\sin^22x}-1\right)dx=-\frac12\operatorname{ctg}2x-x+C

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Uz $\operatorname{ctg}\frac\pi2=0$ i $\operatorname{ctg}\frac\pi4=1 :$

\left.\left(-\frac12\operatorname{ctg}2x-x\right)\right|_{\pi/8}^{\pi/4}=\left(0-\frac\pi4\right)-\left(-\frac12-\frac\pi8\right)=\frac12-\frac\pi8

Brojno je $\frac12-\frac\pi8\approx0{,}1073>0 ,$ što odgovara pozitivnoj podintegralnoj funkciji. Prema tome, $\int_{\pi/8}^{\pi/4}\operatorname{ctg}^22x\,dx=\frac{4-\pi}{8} .$

Započni učenje

Privatni časovi

345.đ

Beleške