PrethodniSledeći
4796.

117

TEKST ZADATKA

Data je ravan α \alpha i njoj paralelna prava a. a . Dokazati da postoji tačno jedna ravan π \pi koja sadrži pravu a a i paralelna je ravni α. \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Po standardnom značenju uslova u ovom zadatku, prava a a nema zajedničkih tačaka sa ravni α. \alpha . Izaberimo tačku A∈a. A\in a . Kroz tačku van ravni postoji jedinstvena ravan paralelna datoj ravni, pa kroz A A postoji jedinstvena ravan π \pi paralelna ravni α. \alpha .

A∈a,A∉α,A∈π,π∥αA\in a,\quad A\notin\alpha,\quad A\in\pi,\quad \pi\parallel\alpha

Prava a a mora pripadati ravni π. \pi . Zaista, kada ne bi pripadala, pošto sadrži tačku A∈π, A\in\pi , prodirala bi ravan π. \pi . Tada bi, zbog π∥α, \pi\parallel\alpha , prodirala i ravan α, \alpha , što protivreči uslovu a∥α. a\parallel\alpha .

A∈a∩π,a∥α,π∥α  ⟹  a⊂πA\in a\cap\pi,\quad a\parallel\alpha,\quad \pi\parallel\alpha \implies a\subset\pi

Ako bi još neka ravan ρ \rho sadržala pravu a a i bila paralelna ravni α, \alpha , sadržala bi tačku A. A . Jedinstvenost paralelne ravni kroz A A tada daje ρ=π. \rho=\pi . Dakle, tražena ravan postoji i jedinstvena je.

a⊂ρ,ρ∥α  ⟹  A∈ρ  ⟹  ρ=πa\subset\rho,\quad \rho\parallel\alpha \implies A\in\rho \implies \rho=\pi

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu