PrethodniSledeći
4791.

111

TEKST ZADATKA

Date su prave a a i b b i tačka M M van njih. Ako postoje dve različite prave m m i n n koje sadrže tačku M M i seku obe prave a a i b, b , tada prave a a i b b pripadaju jednoj ravni. Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Različite prave m m i n n seku se u tački M, M , pa određuju jedinstvenu ravan α. \alpha .

m≠n,m∩n={M}  ⟹  m,n⊂αm\ne n,\quad m\cap n=\{M\}\implies m,n\subset\alpha

Označimo preseke prave a a sa m m i n n redom sa A1 A_1 i A2. A_2 . Obe tačke su u ravni α. \alpha . One su različite: kada bi bile jednake, ta zajednička tačka pravih m m i n n morala bi biti M, M , a po uslovu M∉a. M\notin a .

A1=a∩m,A2=a∩n,A1,A2∈α,A1≠A2A_1=a\cap m,\quad A_2=a\cap n,\quad A_1,A_2\in\alpha,\quad A_1\ne A_2

Prava a a ima dve različite tačke A1,A2 A_1,A_2 u ravni α, \alpha , pa cela pripada toj ravni.

A1,A2∈a∩α, A1≠A2  ⟹  a⊂αA_1,A_2\in a\cap\alpha,\ A_1\ne A_2\implies a\subset\alpha

Isto primenjujemo na preseke B1=b∩m B_1=b\cap m i B2=b∩n. B_2=b\cap n . Oni su različiti jer M∉b, M\notin b , pa i prava b b pripada ravni α. \alpha .

B1,B2∈b∩α, B1≠B2  ⟹  b⊂αB_1,B_2\in b\cap\alpha,\ B_1\ne B_2\implies b\subset\alpha

Dakle, obe prave a a i b b pripadaju istoj ravni α, \alpha , što je trebalo dokazati.

a⊂α∧b⊂αa\subset\alpha\land b\subset\alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu