4040.

615.ž

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) za sledeće polinome:

P1(a)=a−5,P2(a)=a2+5a+25P_1(a) = a - 5, \quad P_2(a) = a^2 + 5a + 25
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju NZS-a je rastavljanje polinoma na proste činioce. Posmatramo prvi polinom a−5. a - 5 . On je već u najjednostavnijem obliku jer je to linearni binom koji se ne može dalje rastaviti.

P1(a)=a−5P_1(a) = a - 5

Zatim posmatramo drugi polinom a2+5a+25. a^2 + 5a + 25 . Proveravamo da li se on može rastaviti kao kvadrat binoma ili preko diskriminante. Kako je diskriminanta D=52−4⋅1⋅25=25−100=−75, D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 , ovaj kvadratni trinom nema realne nule i ne može se dalje rastaviti u skupu realnih brojeva.

P2(a)=a2+5a+25P_2(a) = a^2 + 5a + 25

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) dobijamo tako što pomnožimo sve različite činioce koji se pojavljuju u oba polinoma, uzimajući svaki sa najvećim stepenom sa kojim se pojavljuje.

V(a−5,a2+5a+25)=(a−5)⋅(a2+5a+25)V(a - 5, a^2 + 5a + 25) = (a - 5) \cdot (a^2 + 5a + 25)

Prepoznajemo da je dobijeni izraz zapravo formula za razliku kubova: (x−y)(x2+xy+y2)=x3−y3, (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 , gde je x=a x = a i y=5. y = 5 .

(a−5)(a2+5a+25)=a3−53=a3−125(a - 5)(a^2 + 5a + 25) = a^3 - 5^3 = a^3 - 125

Konačno rešenje za NZS datih polinoma je:

NZS=a3−125NZS = a^3 - 125