2365. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo domen sistema. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

x > 0, \quad y > 0, \quad z > 0

Koristimo osobinu logaritma $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ da uprostimo prvu jednačinu.

\log_4 y = \log_{2^2} y = \frac{1}{2} \log_2 y, \quad \log_4 z = \frac{1}{2} \log_2 z

Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu i množimo je sa 2 kako bismo se oslobodili razlomaka.

\begin{aligned} \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 y + \frac{1}{2} \log_2 z &= 2 \quad / \cdot 2 \\ 2 \log_2 x + \log_2 y + \log_2 z &= 4 \\ \log_2 x^2 + \log_2 y + \log_2 z &= 4 \\ \log_2 (x^2 y z) &= 4 \implies x^2 y z = 2^4 = 16 \end{aligned}

Primenjujemo istu osobinu na drugu jednačinu, prebacujući osnove u 3.

\log_9 z = \frac{1}{2} \log_3 z, \quad \log_9 x = \frac{1}{2} \log_3 x

Zamenjujemo u drugu jednačinu i množimo sa 2.

\begin{aligned} \log_3 y + \frac{1}{2} \log_3 z + \frac{1}{2} \log_3 x &= 2 \quad / \cdot 2 \\ 2 \log_3 y + \log_3 z + \log_3 x &= 4 \\ \log_3 (x y^2 z) &= 4 \implies x y^2 z = 3^4 = 81 \end{aligned}

Primenjujemo istu osobinu na treću jednačinu, prebacujući osnove u 4.

\log_{16} x = \frac{1}{2} \log_4 x, \quad \log_{16} y = \frac{1}{2} \log_4 y

Zamenjujemo u treću jednačinu i množimo sa 2.

\begin{aligned} \log_4 z + \frac{1}{2} \log_4 x + \frac{1}{2} \log_4 y &= 2 \quad / \cdot 2 \\ 2 \log_4 z + \log_4 x + \log_4 y &= 4 \\ \log_4 (x y z^2) &= 4 \implies x y z^2 = 4^4 = 256 \end{aligned}

Sada imamo novi, jednostavniji sistem algebarskih jednačina.

\begin{cases} x^2 y z = 16 \\ x y^2 z = 81 \\ x y z^2 = 256 \end{cases}

Množenjem sve tri jednačine sistema dobijamo:

(x^2 y z) \cdot (x y^2 z) \cdot (x y z^2) = 16 \cdot 81 \cdot 256

Sređujemo levu i desnu stranu jednačine.

\begin{aligned} x^4 y^4 z^4 &= 2^4 \cdot 3^4 \cdot 4^4 \\ (xyz)^4 &= (2 \cdot 3 \cdot 4)^4 \\ (xyz)^4 &= 24^4 \end{aligned}

Pošto iz domena znamo da je $x, y, z > 0 ,$ sledi da je i njihov proizvod pozitivan.

xyz = 24

Sada računamo nepoznate tako što prvu jednačinu sistema zapišemo kao $x(xyz) = 16 .$

x \cdot 24 = 16 \implies x = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}

Slično, iz druge jednačine $y(xyz) = 81$ računamo $y .$

y \cdot 24 = 81 \implies y = \frac{81}{24} = \frac{27}{8}

Iz treće jednačine $z(xyz) = 256$ računamo $z .$

z \cdot 24 = 256 \implies z = \frac{256}{24} = \frac{32}{3}

Dobijena rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0, y > 0, z > 0 .$ Konačno rešenje sistema je uređena trojka $(x, y, z) .$

(x, y, z) = \left( \frac{2}{3}, \frac{27}{8}, \frac{32}{3} \right)

544.a