2366.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši sistem jednačina:

{yxlog⁡yx=x52log⁡4y⋅log⁡y(3x−y)=1\begin{cases} y x^{\log_y x} = x^{\frac{5}{2}} \\ \log_4 y \cdot \log_y(3x - y) = 1 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo postavljamo uslove definisanosti sistema. Osnove logaritama moraju biti pozitivne i različite od $1$, a argumenti logaritama pozitivni.

{y>0,y≠1x>03x−y>0\begin{cases} y > 0, y \neq 1 \\ x > 0 \\ 3x - y > 0 \end{cases}

Posmatramo drugu jednačinu. Koristimo formulu za promenu osnove logaritma log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac. \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c .

log⁡4y⋅log⁡y(3x−y)=log⁡4(3x−y)\log_4 y \cdot \log_y(3x - y) = \log_4(3x - y)

Sada druga jednačina postaje jednostavnija. Rešavamo je po $y$.

log⁡4(3x−y)=1  ⟹  3x−y=41  ⟹  y=3x−4\log_4(3x - y) = 1 \implies 3x - y = 4^1 \implies y = 3x - 4

Pre nego što pređemo na prvu jednačinu, primetimo da $x$ ne može biti $1$. Ako bi bilo $x=1$, prva jednačina bi postala y⋅1=1  ⟹  y=1, y \cdot 1 = 1 \implies y=1 , što je u suprotnosti sa uslovom y≠1. y \neq 1 . Logaritmujemo prvu jednačinu za osnovu $x$.

log⁡x(yxlog⁡yx)=log⁡x(x52)\log_x(y x^{\log_y x}) = \log_x(x^{\frac{5}{2}})

Primenjujemo pravila za logaritmovanje proizvoda i stepena: log⁡x(a⋅b)=log⁡xa+log⁡xb \log_x(a \cdot b) = \log_x a + \log_x b i log⁡x(xk)=k. \log_x(x^k) = k .

log⁡xy+log⁡yx=52\log_x y + \log_y x = \frac{5}{2}

Znamo da važi log⁡yx=1log⁡xy. \log_y x = \frac{1}{\log_x y} . Uvodimo smenu t=log⁡xy. t = \log_x y .

t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

Množimo jednačinu sa $2t$ (gde je $t \neq 0$) i rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

2t2−5t+2=0  ⟹  t1,2=5±25−164=5±342t^2 - 5t + 2 = 0 \implies t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t$.

t1=2,t2=12t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{2}

Analiziramo prvi slučaj kada je t=2. t = 2 . Vraćamo smenu i rešavamo sistem sa jednačinom y=3x−4. y = 3x - 4 .

log⁡xy=2  ⟹  y=x2  ⟹  x2=3x−4  ⟹  x2−3x+4=0\log_x y = 2 \implies y = x^2 \implies x^2 = 3x - 4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0

Računamo diskriminantu ove kvadratne jednačine.

D=(−3)2−4⋅1⋅4=9−16=−7D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7

Pošto je diskriminanta manja od nule, u ovom slučaju nema realnih rešenja.

D<0  ⟹  x∉RD < 0 \implies x \notin \mathbb{R}

Analiziramo drugi slučaj kada je t=12. t = \frac{1}{2} . Vraćamo smenu.

log⁡xy=12  ⟹  y=x12=x  ⟹  x=y2\log_x y = \frac{1}{2} \implies y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \implies x = y^2

Zamenjujemo x=y2 x = y^2 u jednačinu y=3x−4 y = 3x - 4 i rešavamo po $y$.

y=3y2−4  ⟹  3y2−y−4=0y = 3y^2 - 4 \implies 3y^2 - y - 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $y$.

y1,2=1±1−4⋅3⋅(−4)6=1±496=1±76y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{1 \pm 7}{6}

Dobijamo dva rešenja za $y$.

y1=86=43,y2=−66=−1y_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad y_2 = \frac{-6}{6} = -1

Zbog uslova definisanosti y>0, y > 0 , odbacujemo rešenje y=−1. y = -1 . Zadržavamo samo y=43 y = \frac{4}{3} i računamo $x$.

x=y2=(43)2=169x = y^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}

Proveravamo da li rešenje (x,y)=(169,43) (x, y) = \left(\frac{16}{9}, \frac{4}{3}\right) zadovoljava sve početne uslove definisanosti: x>0, x > 0 , y>0, y > 0 , y≠1 y \neq 1 i 3x>y. 3x > y .

3⋅169=163>43  ⟹  Svi uslovi su ispunjeni.3 \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{3} > \frac{4}{3} \implies \text{Svi uslovi su ispunjeni.}

Konačno rešenje sistema je uređeni par $(x, y)$.

(x,y)=(169,43)(x, y) = \left(\frac{16}{9}, \frac{4}{3}\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti