2352.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

{3x⋅5y=225log⁡(x−y+1)=0\begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 225 \\ \log(x-y+1) = 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo analizirati drugu jednačinu sistema. Na osnovu osobina logaritama, znamo da je vrednost logaritma jednaka nuli samo kada je argument jednak 1, odnosno log⁡a1=0 \log_a 1 = 0 za svaku dozvoljenu osnovu a. a .

log⁡(x−y+1)=0  ⟹  x−y+1=1\log(x-y+1) = 0 \implies x-y+1 = 1

Sređivanjem dobijene jednačine nalazimo direktnu vezu između nepoznatih x x i y. y .

x−y=0  ⟹  x=yx - y = 0 \implies x = y

Proveravamo uslov definisanosti logaritma, koji zahteva da argument bude strogo veći od nule: x−y+1>0. x-y+1 > 0 . Pošto smo dobili da je x=y, x=y , zamenom dobijamo 1>0, 1 > 0 , što je uvek tačno.

Sada ćemo zameniti dobijenu jednakost y=x y = x u prvu jednačinu sistema.

3x⋅5x=2253^x \cdot 5^x = 225

Koristeći osobinu stepenovanja ax⋅bx=(a⋅b)x, a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x , možemo uprostiti levu stranu jednačine.

(3⋅5)x=225  ⟹  15x=225(3 \cdot 5)^x = 225 \implies 15^x = 225

Broj 225 možemo zapisati kao stepen broja 15, jer znamo da je 152=225. 15^2 = 225 .

15x=15215^x = 15^2

Pošto su osnove na obe strane jednačine jednake, možemo izjednačiti izložioce i dobiti vrednost za x. x .

x=2x = 2

Kako smo ranije utvrdili da je x=y, x = y , sledi da je i y=2. y = 2 . Rešenje sistema je uređeni par (x,y). (x, y) .

(x,y)=(2,2)(x, y) = (2, 2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti