2351. Logaritamske jednačine

Prvo, odredimo oblast definisanosti sistema. Osnove logaritama i argumenti moraju biti pozitivni i osnove različite od 1.

x > 0, x \neq 1, y > 0, y \neq 1

Koristeći osobinu logaritama $\log_x y = \frac{1}{\log_y x} ,$ prvu jednačinu možemo zapisati u drugačijem obliku.

\log_y x - \frac{1}{\log_y x} = \frac{8}{3}

Uvodimo smenu $t = \log_y x .$

t - \frac{1}{t} = \frac{8}{3}

Množenjem jednačine sa $3t$ (uz uslov $t \neq 0$ ) dobijamo kvadratnu jednačinu.

3t^2 - 8t - 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu.

t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 3, \quad t_2 = -\frac{1}{3}

Razmotrimo prvi slučaj, kada je $t = 3 .$

\log_y x = 3 \implies x = y^3

Zamenjujemo $x = y^3$ u drugu jednačinu sistema $xy = 16 .$

y^3 \cdot y = 16 \implies y^4 = 16

Pošto mora biti $y > 0 ,$ uzimamo samo pozitivno rešenje.

y = 2

Računamo odgovarajuće $x .$

x = 2^3 = 8

Razmotrimo drugi slučaj, kada je $t = -\frac{1}{3} .$

\log_y x = -\frac{1}{3} \implies x = y^{-\frac{1}{3}}

Zamenjujemo $x = y^{-\frac{1}{3}}$ u drugu jednačinu sistema $xy = 16 .$

y^{-\frac{1}{3}} \cdot y = 16 \implies y^{\frac{2}{3}} = 16

Rešavamo jednačinu po $y .$

y = 16^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64

Računamo odgovarajuće $x .$

x = 64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}

Oba dobijena para $(8, 2)$ i $\left(\frac{1}{4}, 64\right)$ zadovoljavaju uslove definisanosti sistema. Konačno rešenje je:

(x, y) \in \left\{ (8, 2), \left(\frac{1}{4}, 64\right) \right\}

2351.Logaritamske jednačine