2349.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

{log⁡ax+log⁡ay+log⁡a4=2+log⁡a9x+y−5a=0\begin{cases} \log_a x + \log_a y + \log_a 4 = 2 + \log_a 9 \\ x + y - 5a = 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, definišimo uslove pod kojima su logaritmi definisani. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule, a osnova mora biti pozitivna i različita od jedan:

x>0,y>0,a>0,a≠1x > 0, \quad y > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1

Primenom osobina logaritama log⁡au+log⁡av=log⁡a(uv) \log_a u + \log_a v = \log_a (uv) i zapisivanjem broja 2 kao log⁡aa2, \log_a a^2 , transformišemo prvu jednačinu:

log⁡a(4xy)=log⁡aa2+log⁡a9\log_a (4xy) = \log_a a^2 + \log_a 9

Zatim, spajamo logaritme na desnoj strani:

log⁡a(4xy)=log⁡a(9a2)\log_a (4xy) = \log_a (9a^2)

Kako je logaritamska funkcija injektivna, možemo izjednačiti argumente:

4xy=9a2  ⟹  xy=9a244xy = 9a^2 \implies xy = \frac{9a^2}{4}

Iz druge jednačine sistema izražavamo zbir x x i y: y :

x+y=5ax + y = 5a

Sada imamo novi, ekvivalentan sistem jednačina:

{x+y=5axy=9a24\begin{cases} x + y = 5a \\ xy = \frac{9a^2}{4} \end{cases}

Na osnovu Vijetovih pravila, x x i y y su rešenja kvadratne jednačine po promenljivoj t: t :

t2−(x+y)t+xy=0  ⟹  t2−5at+9a24=0t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 5at + \frac{9a^2}{4} = 0

Množenjem jednačine sa 4 dobijamo:

4t2−20at+9a2=04t^2 - 20at + 9a^2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=20a±(−20a)2−4⋅4⋅9a22⋅4t_{1,2} = \frac{20a \pm \sqrt{(-20a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9a^2}}{2 \cdot 4}

Uprošćavamo izraz pod korenom:

t1,2=20a±400a2−144a28=20a±256a28t_{1,2} = \frac{20a \pm \sqrt{400a^2 - 144a^2}}{8} = \frac{20a \pm \sqrt{256a^2}}{8}

Po definiciji kvadratnog korena, a2=∣a∣. \sqrt{a^2} = |a| . Definišimo apsolutnu vrednost za a: a :

∣a∣={a,za a≥0−a,za a<0|a| = \begin{cases} a, & \text{za } a \ge 0 \\ -a, & \text{za } a < 0 \end{cases}

Kako je osnova logaritma a>0, a > 0 , važi ∣a∣=a, |a| = a , pa je 256a2=16a. \sqrt{256a^2} = 16a . Dobijamo rešenja:

t1,2=20a±16a8t_{1,2} = \frac{20a \pm 16a}{8}

Računamo vrednosti za t1 t_1 i t2: t_2 :

t1=20a+16a8=36a8=9a2,t2=20a−16a8=4a8=a2t_1 = \frac{20a + 16a}{8} = \frac{36a}{8} = \frac{9a}{2}, \quad t_2 = \frac{20a - 16a}{8} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}

Rešenja sistema su parovi (x,y): (x, y) :

(x,y)∈{(9a2,a2),(a2,9a2)}(x, y) \in \left\{ \left(\frac{9a}{2}, \frac{a}{2}\right), \left(\frac{a}{2}, \frac{9a}{2}\right) \right\}

Proveravamo uslove definisanosti x>0 x > 0 i y>0. y > 0 . Kako je po uslovu zadatka a>0, a > 0 , oba rešenja zadovoljavaju uslove i predstavljaju konačna rešenja sistema.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti