2349. Logaritamske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo, definišimo uslove pod kojima su logaritmi definisani. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule, a osnova mora biti pozitivna i različita od jedan:

x > 0, \quad y > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1

Primenom osobina logaritama $\log_a u + \log_a v = \log_a (uv)$ i zapisivanjem broja 2 kao $\log_a a^2 ,$ transformišemo prvu jednačinu:

\log_a (4xy) = \log_a a^2 + \log_a 9

Zatim, spajamo logaritme na desnoj strani:

\log_a (4xy) = \log_a (9a^2)

Kako je logaritamska funkcija injektivna, možemo izjednačiti argumente:

4xy = 9a^2 \implies xy = \frac{9a^2}{4}

Iz druge jednačine sistema izražavamo zbir $x$ i $y :$

x + y = 5a

Sada imamo novi, ekvivalentan sistem jednačina:

\begin{cases} x + y = 5a \\ xy = \frac{9a^2}{4} \end{cases}

Na osnovu Vijetovih pravila, $x$ i $y$ su rešenja kvadratne jednačine po promenljivoj $t :$

t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 5at + \frac{9a^2}{4} = 0

Množenjem jednačine sa 4 dobijamo:

4t^2 - 20at + 9a^2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{20a \pm \sqrt{(-20a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9a^2}}{2 \cdot 4}

Uprošćavamo izraz pod korenom:

t_{1,2} = \frac{20a \pm \sqrt{400a^2 - 144a^2}}{8} = \frac{20a \pm \sqrt{256a^2}}{8}

Po definiciji kvadratnog korena, $\sqrt{a^2} = |a| .$ Definišimo apsolutnu vrednost za $a :$

|a| = \begin{cases} a, & \text{za } a \ge 0 \\ -a, & \text{za } a < 0 \end{cases}

Kako je osnova logaritma $a > 0 ,$ važi $|a| = a ,$ pa je $\sqrt{256a^2} = 16a .$ Dobijamo rešenja:

t_{1,2} = \frac{20a \pm 16a}{8}

Računamo vrednosti za $t_1$ i $t_2 :$

t_1 = \frac{20a + 16a}{8} = \frac{36a}{8} = \frac{9a}{2}, \quad t_2 = \frac{20a - 16a}{8} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}

Rešenja sistema su parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \left\{ \left(\frac{9a}{2}, \frac{a}{2}\right), \left(\frac{a}{2}, \frac{9a}{2}\right) \right\}

Proveravamo uslove definisanosti $x > 0$ i $y > 0 .$ Kako je po uslovu zadatka $a > 0 ,$ oba rešenja zadovoljavaju uslove i predstavljaju konačna rešenja sistema.

541.b