2350. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo oblast definisanosti (domen) sistema. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan:

x - y > 0 \implies x > y

Posmatrajmo prvu jednačinu. Primenom osobine logaritma $s \log_a x = \log_a x^s ,$ dobijamo:

\log(x-y)^2 = \log 4

Izjednačavanjem argumenata logaritma sledi:

(x-y)^2 = 4

S obzirom na uslov domena $x - y > 0 ,$ uzimamo samo pozitivno rešenje ove kvadratne jednačine:

x - y = 2

Sada posmatrajmo drugu jednačinu. Sve osnove stepena možemo svesti na osnovu 2:

2^x \cdot (2^2)^y = 2^5

Primenom pravila za stepenovanje $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ i $a^m \cdot a^n = a^{m+n} ,$ jednačina postaje:

2^{x+2y} = 2^5

Izjednačavanjem izložilaca dobijamo:

x + 2y = 5

Sada rešavamo uprošćeni sistem linearnih jednačina:

\begin{cases} x - y = 2 \\ x + 2y = 5 \end{cases}

Iz prve jednačine izražavamo $x :$

x = y + 2

Zamenjujemo $x$ u drugu jednačinu:

(y + 2) + 2y = 5

Rešavamo jednačinu po $y :$

3y + 2 = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1

Vraćamo vrednost $y$ i računamo $x :$

x = 1 + 2 = 3

Proveravamo uslov domena $x > y .$ Kako je $3 > 1 ,$ rešenje je validno. Konačno rešenje sistema je:

(x, y) = (3, 1)

2350.Logaritamske jednačine