2356. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo domen sistema. Zbog osobina logaritamske funkcije, argumenti logaritma moraju biti strogo pozitivni:

x > 0, \quad y > 0

Posmatramo drugu jednačinu sistema. Koristeći osobinu razlike logaritama sa istom osnovom $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} ,$ dobijamo:

\log_4 \frac{x}{y} = 1

Oslobađamo se logaritma primenom definicije $\log_a b = c \iff b = a^c :$

\frac{x}{y} = 4^1 \implies x = 4y

Sada posmatramo prvu jednačinu. Koristimo poznati logaritamski identitet $a^{\log_c b} = b^{\log_c a} :$

x^{\log_8 y} = y^{\log_8 x}

Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu kako bismo je pojednostavili:

x^{\log_8 y} + x^{\log_8 y} = 4 \implies 2x^{\log_8 y} = 4 \implies x^{\log_8 y} = 2

Ubacujemo izraz $x = 4y$ u dobijenu jednačinu:

(4y)^{\log_8 y} = 2

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 2:

\log_2 \left( (4y)^{\log_8 y} \right) = \log_2 2 \implies \log_8 y \cdot \log_2 (4y) = 1

Prevodimo $\log_8 y$ na osnovu 2 koristeći formulu $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b :$

\log_8 y = \log_{2^3} y = \frac{1}{3} \log_2 y

Rastavljamo $\log_2 (4y)$ kao zbir logaritama:

\log_2 (4y) = \log_2 4 + \log_2 y = 2 + \log_2 y

Zamenjujemo ove izraze nazad u jednačinu i uvodimo smenu $t = \log_2 y :$

\frac{1}{3} t \cdot (2 + t) = 1 \implies t(2 + t) = 3 \implies t^2 + 2t - 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = -3

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1 :$

\log_2 y = 1 \implies y = 2^1 = 2 \implies x = 4 \cdot 2 = 8

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -3 :$

\log_2 y = -3 \implies y = 2^{-3} = \frac{1}{8} \implies x = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

Oba dobijena para zadovoljavaju početni uslov $x > 0, y > 0 .$ Konačna rešenja sistema su:

(x, y) \in \left\{ (8, 2), \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{8}\right) \right\}

2356.Logaritamske jednačine