2364. Logaritamske jednačine

Zbog logaritma u prvoj jednačini, argument mora biti strogo pozitivan. Postavljamo uslov definisanosti:

x > 0

Transformišemo prvu jednačinu koristeći osobinu logaritma $\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x :$

5^{\log_{5^{-1}} x} = y - 2 \implies 5^{-\log_5 x} = y - 2

Koristimo pravilo $a^{\log_a x} = x$ da bismo pojednostavili levu stranu:

(5^{\log_5 x})^{-1} = y - 2 \implies x^{-1} = y - 2 \implies \frac{1}{x} = y - 2

Izražavamo nepoznatu $y$ iz prve jednačine:

y = \frac{1}{x} + 2

Sada transformišemo drugu jednačinu tako da obe strane imaju istu osnovu $2 :$

(2^2)^x = (2^{-1})^{1-y} \implies 2^{2x} = 2^{y-1}

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo eksponente i izražavamo $y :$

2x = y - 1 \implies y = 2x + 1

Izjednačavamo dva dobijena izraza za $y :$

2x + 1 = \frac{1}{x} + 2

Sređujemo jednačinu i množimo je sa $x$ (pošto je $x > 0$ ):

2x - 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies 2x^2 - x - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $x :$

x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{2}

Proveravamo uslov definisanosti $x > 0 .$ Rešenje $x_2 = -\frac{1}{2}$ odbacujemo, pa ostaje samo:

x = 1

Zamenjujemo vrednost $x$ u izraz za $y :$

y = 2 \cdot 1 + 1 = 3

Konačno rešenje sistema je uređeni par $(x, y) :$

(x, y) = (1, 3)

2364.Logaritamske jednačine