2354.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši sistem jednačina:

{2log⁡4x+log⁡2(y−1)=1log⁡8xlog⁡2(y−1)=−43\begin{cases} 2 \log_4 x + \log_2(y - 1) = 1 \\ \log_8 x \log_{\sqrt{2}}(y - 1) = -\frac{4}{3} \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Određujemo uslove definisanosti (domen) sistema. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule.

{x>0y−1>0  ⟹  {x>0y>1\begin{cases} x > 0 \\ y - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ y > 1 \end{cases}

Transformišemo prvu jednačinu tako da svi logaritmi imaju osnovu 2. Koristimo osobinu log⁡akb=1klog⁡ab. \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b .

2log⁡22x+log⁡2(y−1)=1  ⟹  2⋅12log⁡2x+log⁡2(y−1)=12 \log_{2^2} x + \log_2(y - 1) = 1 \implies 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x + \log_2(y - 1) = 1

Sređujemo prvu jednačinu.

log⁡2x+log⁡2(y−1)=1\log_2 x + \log_2(y - 1) = 1

Sada transformišemo drugu jednačinu tako da logaritmi imaju osnovu 2.

log⁡23x⋅log⁡212(y−1)=−43\log_{2^3} x \cdot \log_{2^{\frac{1}{2}}}(y - 1) = -\frac{4}{3}

Primenjujemo istu osobinu za stepen osnove logaritma.

13log⁡2x⋅2log⁡2(y−1)=−43\frac{1}{3} \log_2 x \cdot 2 \log_2(y - 1) = -\frac{4}{3}

Množimo jednačinu sa 32 \frac{3}{2} da bismo je pojednostavili.

log⁡2x⋅log⁡2(y−1)=−2\log_2 x \cdot \log_2(y - 1) = -2

Uvodimo smene u=log⁡2x u = \log_2 x i v=log⁡2(y−1). v = \log_2(y - 1) . Dobijamo novi, jednostavniji sistem jednačina.

{u+v=1u⋅v=−2\begin{cases} u + v = 1 \\ u \cdot v = -2 \end{cases}

Izražavamo v v iz prve jednačine i zamenjujemo u drugu.

v=1−u  ⟹  u(1−u)=−2v = 1 - u \implies u(1 - u) = -2

Sređujemo dobijenu jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu po u. u .

u−u2=−2  ⟹  u2−u−2=0u - u^2 = -2 \implies u^2 - u - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorišući je ili koristeći formulu.

(u−2)(u+1)=0  ⟹  u1=2,u2=−1(u - 2)(u + 1) = 0 \implies u_1 = 2, \quad u_2 = -1

Računamo odgovarajuće vrednosti za v v koristeći vezu v=1−u. v = 1 - u .

v1=1−2=−1,v2=1−(−1)=2v_1 = 1 - 2 = -1, \quad v_2 = 1 - (-1) = 2

Vraćamo smenu za prvi par rešenja (u1,v1)=(2,−1). (u_1, v_1) = (2, -1) .

{log⁡2x=2log⁡2(y−1)=−1  ⟹  {x=22y−1=2−1\begin{cases} \log_2 x = 2 \\ \log_2(y - 1) = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2^2 \\ y - 1 = 2^{-1} \end{cases}

Računamo x x i y y za prvi par.

{x=4y=1+12=32\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{cases}

Vraćamo smenu za drugi par rešenja (u2,v2)=(−1,2). (u_2, v_2) = (-1, 2) .

{log⁡2x=−1log⁡2(y−1)=2  ⟹  {x=2−1y−1=22\begin{cases} \log_2 x = -1 \\ \log_2(y - 1) = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2^{-1} \\ y - 1 = 2^2 \end{cases}

Računamo x x i y y za drugi par.

{x=12y=1+4=5\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 1 + 4 = 5 \end{cases}

Proveravamo da li dobijena rešenja zadovoljavaju početne uslove definisanosti x>0 x > 0 i y>1. y > 1 .

Oba resˇenja (4,32) i (12,5) zadovoljavaju uslove.\text{Oba rešenja } \left(4, \frac{3}{2}\right) \text{ i } \left(\frac{1}{2}, 5\right) \text{ zadovoljavaju uslove.}

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x,y)∈{(4,32),(12,5)}(x, y) \in \left\{ \left(4, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{1}{2}, 5\right) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti