Jednačina x na (lg x + 5)/3 = 10 na 5 + lg x

Jednačina je definisana za $x > 0$ zbog prisustva logaritma.

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine sa osnovom 10 (dekadni logaritam):

\lg \left( x^{\frac{\lg x+5}{3}} \right) = \lg \left( 10^{5+\lg x} \right)

Primenjujemo osobinu logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ na levu stranu i činjenicu da je $\lg 10^y = y$ na desnu stranu:

\frac{\lg x+5}{3} \lg x = 5+\lg x

Uvodimo smenu $t = \lg x :$

\frac{t+5}{3} t = 5+t

Množimo jednačinu sa 3 kako bismo se oslobodili razlomka:

t(t+5) = 3(5+t)

Množimo i prebacujemo sve članove na levu stranu:

t^2 + 5t = 15 + 3t

Sređujemo kvadratnu jednačinu:

t^2 + 2t - 15 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 3, \quad t_2 = -5

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 3 :$

\lg x = 3 \implies x_1 = 10^3 = 1000

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -5 :$

\lg x = -5 \implies x_2 = 10^{-5}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 ,$ pa su konačna rešenja:

x \in \{10^{-5}, 10^3\}

538.g