2348.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

xlg⁡x+53=105+lg⁡xx^{\frac{\lg x+5}{3}} = 10^{5+\lg x}
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za x>0 x > 0 zbog prisustva logaritma.

x>0x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine sa osnovom 10 (dekadni logaritam):

lg⁡(xlg⁡x+53)=lg⁡(105+lg⁡x)\lg \left( x^{\frac{\lg x+5}{3}} \right) = \lg \left( 10^{5+\lg x} \right)

Primenjujemo osobinu logaritma log⁡axs=slog⁡ax \log_a x^s = s \log_a x na levu stranu i činjenicu da je lg⁡10y=y \lg 10^y = y na desnu stranu:

lg⁡x+53lg⁡x=5+lg⁡x\frac{\lg x+5}{3} \lg x = 5+\lg x

Uvodimo smenu t=lg⁡x: t = \lg x :

t+53t=5+t\frac{t+5}{3} t = 5+t

Množimo jednačinu sa 3 kako bismo se oslobodili razlomka:

t(t+5)=3(5+t)t(t+5) = 3(5+t)

Množimo i prebacujemo sve članove na levu stranu:

t2+5t=15+3tt^2 + 5t = 15 + 3t

Sređujemo kvadratnu jednačinu:

t2+2t−15=0t^2 + 2t - 15 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−2±22−4⋅1⋅(−15)2=−2±82t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=3,t2=−5t_1 = 3, \quad t_2 = -5

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=3: t_1 = 3 :

lg⁡x=3  ⟹  x1=103=1000\lg x = 3 \implies x_1 = 10^3 = 1000

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=−5: t_2 = -5 :

lg⁡x=−5  ⟹  x2=10−5\lg x = -5 \implies x_2 = 10^{-5}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov x>0, x > 0 , pa su konačna rešenja:

x∈{10−5,103}x \in \{10^{-5}, 10^3\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti