2341. Logaritamske jednačine

Zbog definisanosti logaritma i osnove stepena, mora važiti uslov:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 3:

\log_3 (x^{\log_3 x}) = \log_3 9

Primenjujemo osobinu logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ na levu stranu, a desnu stranu računamo kao $\log_3 3^2 = 2 :$

(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = 2

Množenjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $\log_3 x :$

(\log_3 x)^2 = 2

Rešavamo jednačinu po $\log_3 x :$

\log_3 x = \sqrt{2} \quad \lor \quad \log_3 x = -\sqrt{2}

Primenom definicije logaritma $x = \log_a b \iff a^x = b$ dobijamo rešenja za $x :$

x_1 = 3^{\sqrt{2}}, \quad x_2 = 3^{-\sqrt{2}}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 ,$ pa je konačan skup rešenja:

x \in \{3^{-\sqrt{2}}, 3^{\sqrt{2}}\}

538.d