2343. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Zbog korena i logaritma mora važiti:

x > 0

Zapisujemo koren kao stepen:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

Zamenjujemo u jednačinu:

\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_5 x - 1} = 5

Množimo izložioce:

x^{\frac{1}{2}(\log_5 x - 1)} = 5

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 5:

\log_5 \left( x^{\frac{1}{2}(\log_5 x - 1)} \right) = \log_5 5

Primenjujemo osobinu logaritma $\log_a x^s = s \log_a x$ i $\log_a a = 1 :$

\frac{1}{2}(\log_5 x - 1) \log_5 x = 1

Množimo jednačinu sa 2:

(\log_5 x - 1) \log_5 x = 2

Uvodimo smenu $t = \log_5 x :$

(t - 1)t = 2

Sređujemo jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu:

t^2 - t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dobijamo rešenja za $t :$

t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za $t_1 = 2 :$

\log_5 x = 2 \implies x_1 = 5^2 = 25

Vraćamo smenu za $t_2 = -1 :$

\log_5 x = -1 \implies x_2 = 5^{-1} = \frac{1}{5}

Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x > 0 ,$ pa je konačno rešenje:

x \in \left\{ \frac{1}{5}, 25 \right\}

2343.Logaritamske jednačine