2345. Logaritamske jednačine

Zbog prisustva logaritma i promenljive u osnovi stepena, jednačina je definisana za:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine dekadnim logaritmom:

\lg \left( x^{\frac{\lg x+7}{4}} \right) = \lg \left( 10^{\lg x+1} \right)

Primenjujemo osobinu logaritma za stepen, $\log_a x^s = s \log_a x :$

\frac{\lg x+7}{4} \cdot \lg x = (\lg x+1) \cdot \lg 10

S obzirom da je $\lg 10 = 1 ,$ jednačina postaje:

\frac{\lg x+7}{4} \cdot \lg x = \lg x + 1

Uvodimo smenu $t = \lg x :$

\frac{t+7}{4} \cdot t = t + 1

Množimo jednačinu sa 4 i grupišemo članove kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

t(t+7) = 4(t+1) \implies t^2 + 7t = 4t + 4 \implies t^2 + 3t - 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}

Rešenja kvadratne jednačine su:

t_1 = 1, \quad t_2 = -4

Vraćamo smenu za prvo rešenje:

\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10

Vraćamo smenu za drugo rešenje:

\lg x = -4 \implies x_2 = 10^{-4}

Oba dobijena rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 .$ Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{10^{-4}, 10\}

2345.Logaritamske jednačine