2317. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Zapisujemo osnove logaritama u obliku stepena broja $3 .$

\log_{3^{\frac{1}{2}}} x + \log_{3^{\frac{1}{4}}} x + \log_{3^{\frac{1}{6}}} x + \cdots + \log_{3^{\frac{1}{16}}} x = 36

Koristimo osobinu logaritma $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ da bismo izneli stepene osnova ispred logaritama.

2 \log_3 x + 4 \log_3 x + 6 \log_3 x + \cdots + 16 \log_3 x = 36

Izvlačimo zajednički faktor $\log_3 x$ ispred zagrade.

(2 + 4 + 6 + \cdots + 16) \log_3 x = 36

Računamo zbir aritmetičkog niza u zagradi. Niz parnih brojeva od $2$ do $16$ ima $8$ članova, gde je prvi član $a_1 = 2 ,$ a poslednji $a_8 = 16 .$

S_8 = \frac{8}{2} (2 + 16) = 4 \cdot 18 = 72

Zamenjujemo izračunati zbir nazad u jednačinu.

72 \log_3 x = 36

Delimo obe strane jednačine sa $72 .$

\log_3 x = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}

Primenjujemo definiciju logaritma da bismo našli $x .$

x = 3^{\frac{1}{2}}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku korena. Pošto je $\sqrt{3} > 0 ,$ rešenje pripada domenu.

x = \sqrt{3}

2317.Logaritamske jednačine