2306. Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Argumenti logaritma moraju biti strogo veći od nule:

9^{x-1} + 7 > 0 \quad \text{i} \quad 3^{x-1} + 1 > 0

Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, ovi uslovi su ispunjeni za svako realno $x .$

x \in \mathbb{R}

Zapisujemo broj $2$ kao logaritam sa osnovom $2 :$

2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)

Zamenjujemo ovo u polaznu jednačinu:

\log_2(9^{x-1} + 7) = \log_2(4) + \log_2(3^{x-1} + 1)

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama sa istom osnovom $\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(x \cdot y) :$

\log_2(9^{x-1} + 7) = \log_2(4 \cdot (3^{x-1} + 1))

Pošto su osnove logaritama jednake, možemo izjednačiti njihove argumente:

9^{x-1} + 7 = 4 \cdot (3^{x-1} + 1)

Zapisujemo $9^{x-1}$ preko osnove $3 :$

9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = (3^{x-1})^2

Uvodimo smenu $t = 3^{x-1} ,$ pri čemu mora važiti $t > 0 .$ Jednačina postaje:

t^2 + 7 = 4(t + 1)

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t^2 - 4t + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorisanjem ili pomoću formule:

(t - 1)(t - 3) = 0

Dobijamo dva rešenja za $t ,$ i oba su pozitivna, pa zadovoljavaju uslov $t > 0 :$

t_1 = 1, \quad t_2 = 3

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1 :$

3^{x-1} = 1

Zapisujemo $1$ kao $3^0$ i izjednačavamo eksponente:

3^{x-1} = 3^0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 3 :$

3^{x-1} = 3

Zapisujemo $3$ kao $3^1$ i izjednačavamo eksponente:

3^{x-1} = 3^1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{1, 2\}

2306.Logaritamske jednačine