2305. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo uslov definisanosti logaritma. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan:

3^x - 8 > 0 \implies 3^x > 8

Koristeći definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b ,$ transformišemo jednačinu:

3^{2-x} = 3^x - 8

Primenjujemo pravila za stepenovanje na levu stranu jednačine:

\frac{3^2}{3^x} = 3^x - 8 \implies \frac{9}{3^x} = 3^x - 8

Uvodimo smenu $t = 3^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi $t > 0 .$ Takođe, iz uslova definisanosti imamo $t > 8 .$

t = 3^x, \quad t > 8

Zamenjujemo smenu u jednačinu:

\frac{9}{t} = t - 8

Množimo celu jednačinu sa $t$ i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

t^2 - 8t - 9 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu faktorišući trinom:

(t - 9)(t + 1) = 0

Dobijamo dva moguća rešenja za $t :$

t_1 = 9, \quad t_2 = -1

Rešenje $t_2 = -1$ odbacujemo jer ne ispunjava uslov $t > 8 .$ Zadržavamo samo $t_1 = 9$ i vraćamo smenu:

3^x = 9

Zapisujemo $9$ kao stepen osnove $3$ i izjednačavamo eksponente:

3^x = 3^2 \implies x = 2

Konačno rešenje jednačine je:

x = 2

2305.Logaritamske jednačine