2292. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Svodimo sve logaritme na istu osnovu. Koristimo osnovu 2, jer su 16 i 4 stepeni broja 2. Primenjujemo pravilo $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$

\log_{2^4} x + \log_{2^2} x + \log_2 x = 7

Izvlačimo recipročne vrednosti izložilaca osnova ispred logaritama.

\frac{1}{4} \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 x + \log_2 x = 7

Saberemo koeficijente uz $\log_2 x .$ Zajednički imenilac za 4, 2 i 1 je 4.

\left( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} \right) \log_2 x = 7

Sređujemo izraz u zagradi.

\frac{7}{4} \log_2 x = 7

Množimo celu jednačinu sa $\frac{4}{7}$ kako bismo izolovali logaritam.

\log_2 x = 7 \cdot \frac{4}{7} \implies \log_2 x = 4

Na osnovu definicije logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b ,$ računamo vrednost nepoznate $x .$

x = 2^4

Konačno rešenje je:

x = 16

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je $16 > 0 ,$ rešenje je prihvatljivo.

16 \in (0, +\infty)

532.a