2277. Logaritamske jednačine

Prvo definišemo domen jednačine. Argumenti svih logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x > 0 \\ \log_4 \log_3 x > 0 \end{cases}

Rešavamo polaznu jednačinu koristeći definiciju logaritma: $\log_a b = c \iff b = a^c .$ Primenjujemo ovo na spoljašnji logaritam sa osnovom 15:

\log_4 \log_3 x = 15^0

Znamo da je bilo koji broj (osim nule) na nulti stepen jednak 1, pa jednačina postaje:

\log_4 \log_3 x = 1

Sada ponovo primenjujemo definiciju logaritma, ovog puta za osnovu 4:

\log_3 x = 4^1

Sređivanjem dobijamo jednostavnu logaritamsku jednačinu:

\log_3 x = 4

Još jednom primenjujemo definiciju logaritma da bismo izolovali $x :$

x = 3^4

Računamo vrednost stepena:

x = 81

Proveravamo da li rešenje zadovoljava uslove domena. Pošto je $81 > 0 ,$ $\log_3 81 = 4 > 0$ i $\log_4 4 = 1 > 0 ,$ rešenje je validno.

x = 81

2277.Logaritamske jednačine