Jednačina sa parametrima a i b i razlomcima

Da bi jednačina bila definisana, imenioci moraju biti različiti od nule.

a \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 0

Množimo celu jednačinu sa $ab$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

ab \cdot \left( a^2b - \frac{a + x}{b} \right) = ab \cdot \left( ab^2 - \frac{b + x}{a} \right)

Nakon množenja i skraćivanja razlomaka dobijamo sledeći izraz.

a^3b^2 - a(a + x) = a^2b^3 - b(b + x)

Oslobađamo se zagrada množenjem.

a^3b^2 - a^2 - ax = a^2b^3 - b^2 - bx

Prebacujemo sve članove koji sadrže nepoznatu $x$ na levu stranu, a sve ostale članove na desnu stranu.

bx - ax = a^2b^3 - a^3b^2 - b^2 + a^2

Izvlačimo zajednički činilac $x$ na levoj strani jednačine.

x(b - a) = a^2b^3 - a^3b^2 + a^2 - b^2

Faktorišemo desnu stranu metodom grupisanja. Iz prva dva člana izvlačimo $a^2b^2 ,$ a preostala dva člana predstavljaju razliku kvadrata.

x(b - a) = a^2b^2(b - a) + (a - b)(a + b)

Izraz $a - b$ možemo zapisati kao $-(b - a)$ kako bismo dobili isti činilac u oba sabirka na desnoj strani.

x(b - a) = a^2b^2(b - a) - (b - a)(a + b)

Izvlačimo zajednički činilac $b - a$ na desnoj strani.

x(b - a) = (b - a)(a^2b^2 - a - b)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od parametara. Prvi slučaj: ako je $a \neq b$ (odnosno $b - a \neq 0$ ), možemo podeliti jednačinu sa $b - a .$

x = a^2b^2 - a - b

Drugi slučaj: ako je $a = b ,$ jednačina postaje $x \cdot 0 = 0 .$ U ovom slučaju, jednakost važi za svaki realan broj $x .$

x \in \mathbb{R}

Konačno rešenje jednačine uz početne uslove $a \neq 0$ i $b \neq 0$ možemo zapisati na sledeći način:

\begin{cases} x = a^2b^2 - a - b, & \text{za } a \neq b \\ x \in \mathbb{R}, & \text{za } a = b \end{cases}

690.a