4365.

680.e

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po promenljivoj x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

(m+5)(m−3)x=m+5(m+5)(m-3)x = m + 5
REŠENJE ZADATKA

Data jednačina je linearna jednačina oblika ax=b, ax = b , gde je a=(m+5)(m−3) a = (m+5)(m-3) i b=m+5. b = m+5 . Da bismo odredili rešenje, moramo razmotriti slučajeve kada je koeficijent uz x x jednak nuli i različit od nule.

Prvi slučaj: Koeficijent uz x x je različit od nule. To se dešava kada je m+5≠0 m+5 \neq 0 i m−3≠0, m-3 \neq 0 , odnosno m≠−5 m \neq -5 i m≠3. m \neq 3 . Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x=m+5(m+5)(m−3)x = \frac{m+5}{(m+5)(m-3)}

Skraćivanjem razlomka sa m+5 m+5 (što je dozvoljeno jer je m≠−5 m \neq -5 ), dobijamo konačno rešenje za ovaj slučaj:

x=1m−3x = \frac{1}{m-3}

Drugi slučaj: Razmatramo vrednost m=−5. m = -5 . Zamenom ove vrednosti u početnu jednačinu dobijamo:

(−5+5)(−5−3)x=−5+50⋅(−8)⋅x=00=0(-5+5)(-5-3)x = -5+5 \\ 0 \cdot (-8) \cdot x = 0 \\ 0 = 0

Pošto smo dobili identitet 0=0, 0 = 0 , zaključujemo da je za m=−5 m = -5 rešenje svaki realan broj.

x∈Rx \in \mathbb{R}

Treći slučaj: Razmatramo vrednost m=3. m = 3 . Zamenom ove vrednosti u početnu jednačinu dobijamo:

(3+5)(3−3)x=3+58⋅0⋅x=80=8(3+5)(3-3)x = 3+5 \\ 8 \cdot 0 \cdot x = 8 \\ 0 = 8

Pošto smo dobili kontradikciju 0=8, 0 = 8 , zaključujemo da za m=3 m = 3 jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Sumiramo diskusiju rešenja jednačine:

{m∈R∖{−5,3}  ⟹  x=1m−3m=−5  ⟹  x∈Rm=3  ⟹  x∈∅\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 3\} \implies x = \frac{1}{m-3} \\ m = -5 \implies x \in \mathbb{R} \\ m = 3 \implies x \in \emptyset \end{cases}