4365. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po promenljivoj $x$ u zavisnosti od realnog parametra $m :$

(m+5)(m-3)x = m + 5

REŠENJE ZADATKA

Data jednačina je linearna jednačina oblika $ax = b ,$ gde je $a = (m+5)(m-3)$ i $b = m+5 .$ Da bismo odredili rešenje, moramo razmotriti slučajeve kada je koeficijent uz $x$ jednak nuli i različit od nule.

Prvi slučaj: Koeficijent uz $x$ je različit od nule. To se dešava kada je $m+5 \neq 0$ i $m-3 \neq 0 ,$ odnosno $m \neq -5$ i $m \neq 3 .$ Tada jednačina ima jedinstveno rešenje:

x = \frac{m+5}{(m+5)(m-3)}

Skraćivanjem razlomka sa $m+5$ (što je dozvoljeno jer je $m \neq -5$ ), dobijamo konačno rešenje za ovaj slučaj:

x = \frac{1}{m-3}

Drugi slučaj: Razmatramo vrednost $m = -5 .$ Zamenom ove vrednosti u početnu jednačinu dobijamo:

(-5+5)(-5-3)x = -5+5 \\ 0 \cdot (-8) \cdot x = 0 \\ 0 = 0

Pošto smo dobili identitet $0 = 0 ,$ zaključujemo da je za $m = -5$ rešenje svaki realan broj.

x \in \mathbb{R}

Treći slučaj: Razmatramo vrednost $m = 3 .$ Zamenom ove vrednosti u početnu jednačinu dobijamo:

(3+5)(3-3)x = 3+5 \\ 8 \cdot 0 \cdot x = 8 \\ 0 = 8

Pošto smo dobili kontradikciju $0 = 8 ,$ zaključujemo da za $m = 3$ jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

Sumiramo diskusiju rešenja jednačine:

\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 3\} \implies x = \frac{1}{m-3} \\ m = -5 \implies x \in \mathbb{R} \\ m = 3 \implies x \in \emptyset \end{cases}

680.e