4311. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Primenom formule $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow (A = 0 \lor B = 0)$ rešiti jednačinu: $(2x - 1)(x - 3) = (3x - 1)(1 - 2x) .$

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak je da sve članove jednačine prebacimo na levu stranu kako bismo na desnoj strani dobili nulu.

(2x - 1)(x - 3) - (3x - 1)(1 - 2x) = 0

Primetimo da je izraz $(1 - 2x)$ zapravo $-(2x - 1) .$ Iskoristićemo ovo da uočimo zajednički činilac.

(2x - 1)(x - 3) - (3x - 1)[-(2x - 1)] = 0

Sredimo znake ispred zagrada. Minus i minus daju plus.

(2x - 1)(x - 3) + (3x - 1)(2x - 1) = 0

Sada možemo izvući zajednički činilac $(2x - 1)$ ispred zagrade.

(2x - 1)[(x - 3) + (3x - 1)] = 0

Sredimo izraz unutar uglaste zagrade sabiranjem sličnih članova.

(2x - 1)(4x - 4) = 0

Primenjujemo formulu $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \lor B = 0 .$ Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli.

2x - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad 4x - 4 = 0

Rešavamo prvu linearnu jednačinu.

2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}

Rešavamo drugu linearnu jednačinu.

4x = 4 \implies x_2 = 1

Zapisujemo konačan skup rešenja jednačine.

x \in \left\{ \frac{1}{2}, 1 \right\}

673.ž