4310.

672.b

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: (x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2=(2x+5)2 (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2 = (2x + 5)^2

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo primeniti formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 na svaki sabirak sa leve i desne strane jednačine.

(x+1)2=x2+2x+1(x+2)2=x2+4x+4(x+3)2=x2+6x+9(x+4)2=x2+8x+16(2x+5)2=4x2+20x+25\begin{aligned} (x+1)^2 &= x^2 + 2x + 1 \\ (x+2)^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ (x+3)^2 &= x^2 + 6x + 9 \\ (x+4)^2 &= x^2 + 8x + 16 \\ (2x+5)^2 &= 4x^2 + 20x + 25 \end{aligned}

Sada uvrštavamo ove razvijene izraze u početnu jednačinu.

(x2+2x+1)+(x2+4x+4)+(x2+6x+9)+(x2+8x+16)=4x2+20x+25(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 8x + 16) = 4x^2 + 20x + 25

Sređujemo levu stranu jednačine sabiranjem sličnih članova.

(x2+x2+x2+x2)+(2x+4x+6x+8x)+(1+4+9+16)=4x2+20x+25(x^2 + x^2 + x^2 + x^2) + (2x + 4x + 6x + 8x) + (1 + 4 + 9 + 16) = 4x^2 + 20x + 25

Dobijamo uprošćenu jednačinu.

4x2+20x+30=4x2+20x+254x^2 + 20x + 30 = 4x^2 + 20x + 25

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo izolovali konstantu ili videli prirodu rešenja.

4x2−4x2+20x−20x=25−304x^2 - 4x^2 + 20x - 20x = 25 - 30

Nakon oduzimanja, dobijamo sledeći izraz:

0=−50 = -5

Pošto smo dobili netačan iskaz (0=−5 0 = -5 ), zaključujemo da polazna jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset