5333. Leva i desna granična vrednost

Podsetimo se definicija: broj $a$ je leva granična vrednost funkcije $f$ u tački $x_0 ,$ $a=\lim_{x\to x_0-0}f(x) ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x\in D_f$ za koje je $x_0-\delta<x<x_0$ važi $|f(x)-a|<\varepsilon .$ Desna granična vrednost $b=\lim_{x\to x_0+0}f(x)$ definiše se isto, samo za $x_0<x<x_0+\delta .$ Jednostavno rečeno: kod leve granične vrednosti $x$ prilazi tački $x_0$ samo sa leve strane (brojevi manji od $x_0$ ), a kod desne samo sa desne strane. Koriste se i oznake $x\to x_0^-$ i $x\to x_0^+ .$

Logaritam je definisan samo za $x>0 ,$ pa ima smisla samo desna granična vrednost u nuli. Podsetimo se: $\log_2x$ je izložilac na koji treba stepenovati $2$ da se dobije $x .$ Za brojeve oblika $x=2^{-n}$ to je lako izračunati:

\log_2\frac12=-1, \quad \log_2\frac1{1024}=-10, \quad \log_2\frac{1}{2^{20}}=-20

Brojevi $\frac12,\frac1{1024},\frac1{2^{20}}$ su sve bliži nuli (sa desne strane), a logaritmi sve manji. Opšte: koliko god veliki broj $M$ zamislimo, za $0<x<2^{-M}$ je $\log_2x<-M ,$ jer je $\log_2$ rastuća funkcija:

0<x<2^{-M} \implies \log_2x<\log_22^{-M}=-M

Vrednosti padaju ispod svakog broja, pa granična vrednost iznosi $-\infty .$

Rešenje: $\lim_{x\to0+}\log_2x=-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

132.a

Beleške