1093. Stepen čiji je izložilac ceo broj

Rešavamo prvi primer. Koristimo identitet za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ kako bismo eliminisali treće korene u imeniocu. Ovde je $a = 2\sqrt[3]{2}$ i $b = 3\sqrt[3]{3} .$

\frac{1}{2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{(2\sqrt[3]{2})^2 - (2\sqrt[3]{2})(3\sqrt[3]{3}) + (3\sqrt[3]{3})^2}{(2\sqrt[3]{2})^2 - (2\sqrt[3]{2})(3\sqrt[3]{3}) + (3\sqrt[3]{3})^2}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu. U imeniocu dobijamo zbir kubova članova.

\frac{4\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{6} + 9\sqrt[3]{9}}{(2\sqrt[3]{2})^3 + (3\sqrt[3]{3})^3}

Računamo vrednosti kubova u imeniocu: $(2\sqrt[3]{2})^3 = 8 \cdot 2 = 16$ i $(3\sqrt[3]{3})^3 = 27 \cdot 3 = 81 .$

\frac{4\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{6} + 9\sqrt[3]{9}}{16 + 81} = \frac{4\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{6} + 9\sqrt[3]{9}}{97}

Rešavamo drugi primer. Primetimo da su izrazi pod korenima specifični. Označimo $x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} .$ Da bismo uprostili imenilac, prvo proveravamo vrednost ovog izraza kubiranjem.

x^3 = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})

Računamo vrednost unutar korena: $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4 - 5 = -1 .$ Zamenjujemo to u jednačinu, gde je zagrada zapravo naše $x .$

x^3 = 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot x \implies x^3 = 4 - 3x

Dobijamo jednačinu $x^3 + 3x - 4 = 0 .$ Očigledno rešenje je $x = 1 ,$ jer je $1^3 + 3(1) - 4 = 0 .$ Pošto je funkcija $f(x) = x^3 + 3x - 4$ strogo rastuća, ovo je jedino realno rešenje.

x = 1

Pošto smo utvrdili da je ceo imenilac jednak 1, razlomak postaje:

\frac{1}{1} = 1

38.b