1070.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da je sledeća jednakost tačna:

6+11−6−11=2\sqrt{6 + \sqrt{11}} - \sqrt{6 - \sqrt{11}} = \sqrt{2}
REŠENJE ZADATKA

Neka je leva strana jednakosti označena sa x. x . Primetimo da je 6+11>6−11, 6 + \sqrt{11} > 6 - \sqrt{11} , pa je x>0. x > 0 . Kvadriraćemo izraz da bismo eliminisali spoljašnje korene.

x=6+11−6−11x = \sqrt{6 + \sqrt{11}} - \sqrt{6 - \sqrt{11}}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (a−b)2=a2−2ab+b2: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :

x2=(6+11)2−26+116−11+(6−11)2x^2 = (\sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 - 2\sqrt{6 + \sqrt{11}}\sqrt{6 - \sqrt{11}} + (\sqrt{6 - \sqrt{11}})^2

Sređujemo izraz koristeći pravilo za koren proizvoda ab=ab \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} i razliku kvadrata pod korenom:

x2=6+11−2(6+11)(6−11)+6−11x^2 = 6 + \sqrt{11} - 2\sqrt{(6 + \sqrt{11})(6 - \sqrt{11})} + 6 - \sqrt{11}

Sabiramo racionalne delove i primenjujemo razliku kvadrata (6+11)(6−11)=62−(11)2: (6 + \sqrt{11})(6 - \sqrt{11}) = 6^2 - (\sqrt{11})^2 :

x2=12−236−11x^2 = 12 - 2\sqrt{36 - 11}

Računamo vrednost pod korenom i korenujemo:

x2=12−225=12−2⋅5=12−10x^2 = 12 - 2\sqrt{25} = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10

Dobijamo vrednost kvadrata izraza:

x2=2x^2 = 2

Pošto smo na početku utvrdili da je x>0, x > 0 , korenujemo obe strane i dobijamo traženu vrednost:

x=2x = \sqrt{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti