1053.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati izraz koristeći pravila za množenje korena i razliku kvadrata:

I=2+3⋅2+2+3⋅2−2+3I = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo da su drugi i treći činilac konjugovano kompleksni izrazi pod korenom, pa ih možemo grupisati pod zajednički koren koristeći pravilo a⋅b=a⋅b. \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} .

I=2+3⋅(2+2+3)(2−2+3)I = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}})}

Unutar drugog korena primenjujemo formulu za razliku kvadrata (a+b)(a−b)=a2−b2, (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 , gde je a=2 a = 2 i b=2+3. b = \sqrt{2 + \sqrt{3}} .

I=2+3⋅22−(2+3)2I = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2}

Kvadriramo članove unutar korena. Kako je kvadrat korena jednak potkorenoj veličini, dobijamo sledeći izraz:

I=2+3⋅4−(2+3)I = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})}

Sređujemo izraz unutar drugog korena oslobađanjem zagrade i oduzimanjem:

I=2+3⋅2−3I = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}

Sada ponovo primenjujemo pravilo za množenje korena i formulu za razliku kvadrata na preostala dva člana:

I=(2+3)(2−3)I = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}

Računamo vrednost pod korenom:

I=22−(3)2=4−3I = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3}

Dobijamo konačan rezultat:

I=1=1I = \sqrt{1} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti