1438.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z=a+bi, z = a + bi , ako je z4=−7−24i. z^4 = -7 - 24i .

z4=−7−24iz^4 = -7 - 24i
REŠENJE ZADATKA

Zadatak rešavamo u dva koraka. Prvo ćemo naći kvadratni koren broja −7−24i, -7 - 24i , a zatim ćemo naći korene dobijenih rezultata. Neka je w=z2=x+iy. w = z^2 = x + iy . Postavljamo jednačinu:

(x+iy)2=−7−24i(x + iy)^2 = -7 - 24i

Kvadriranjem leve strane i izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova, dobijamo sistem jednačina:

{x2−y2=−72xy=−24\begin{cases} x^2 - y^2 = -7 \\ 2xy = -24 \end{cases}

Koristimo dodatnu relaciju za modul kompleksnog broja ∣w∣2=x2+y2=(−7)2+(−24)2: |w|^2 = x^2 + y^2 = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} :

x2+y2=49+576=625=25x^2 + y^2 = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25

Sada rešavamo sistem x2−y2=−7 x^2 - y^2 = -7 i x2+y2=25. x^2 + y^2 = 25 . Sabiranjem i oduzimanjem jednačina dobijamo:

2x2=18  ⟹  x2=92y2=32  ⟹  y2=162x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \\ 2y^2 = 32 \implies y^2 = 16

Pošto je 2xy=−24, 2xy = -24 , x x i y y moraju biti suprotnog znaka. Dobijamo dve vrednosti za z2: z^2 :

z2=3−4iiliz2=−3+4iz^2 = 3 - 4i \quad \text{ili} \quad z^2 = -3 + 4i

Sada tražimo z=a+bi z = a + bi iz prve opcije (a+bi)2=3−4i. (a + bi)^2 = 3 - 4i . Postavljamo sistem:

{a2−b2=32ab=−4a2+b2=32+(−4)2=5\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = -4 \\ a^2 + b^2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo 2a2=8  ⟹  a=±2 2a^2 = 8 \implies a = \pm 2 i 2b2=2  ⟹  b=±1. 2b^2 = 2 \implies b = \pm 1 . Zbog 2ab=−4, 2ab = -4 , rešenja su:

z1=2−i,z2=−2+iz_1 = 2 - i, \quad z_2 = -2 + i

Sada tražimo z=a+bi z = a + bi iz druge opcije (a+bi)2=−3+4i. (a + bi)^2 = -3 + 4i . Postavljamo sistem:

{a2−b2=−32ab=4a2+b2=(−3)2+42=5\begin{cases} a^2 - b^2 = -3 \\ 2ab = 4 \\ a^2 + b^2 = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \end{cases}

Rešavanjem dobijamo 2a2=2  ⟹  a=±1 2a^2 = 2 \implies a = \pm 1 i 2b2=8  ⟹  b=±2. 2b^2 = 8 \implies b = \pm 2 . Zbog 2ab=4, 2ab = 4 , rešenja su:

z3=1+2i,z4=−1−2iz_3 = 1 + 2i, \quad z_4 = -1 - 2i

Konačan skup rešenja čine četiri kompleksna broja:

z∈{2−i,−2+i,1+2i,−1−2i}z \in \{2 - i, -2 + i, 1 + 2i, -1 - 2i\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti