Četvrti koren kompleksnog broja -7 - 24i

Zadatak rešavamo u dva koraka. Prvo ćemo naći kvadratni koren broja $-7 - 24i ,$ a zatim ćemo naći korene dobijenih rezultata. Neka je $w = z^2 = x + iy .$ Postavljamo jednačinu:

(x + iy)^2 = -7 - 24i

Kvadriranjem leve strane i izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova, dobijamo sistem jednačina:

\begin{cases} x^2 - y^2 = -7 \\ 2xy = -24 \end{cases}

Koristimo dodatnu relaciju za modul kompleksnog broja $|w|^2 = x^2 + y^2 = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} :$

x^2 + y^2 = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25

Sada rešavamo sistem $x^2 - y^2 = -7$ i $x^2 + y^2 = 25 .$ Sabiranjem i oduzimanjem jednačina dobijamo:

2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \\ 2y^2 = 32 \implies y^2 = 16

Pošto je $2xy = -24 ,$ $x$ i $y$ moraju biti suprotnog znaka. Dobijamo dve vrednosti za $z^2 :$

z^2 = 3 - 4i \quad \text{ili} \quad z^2 = -3 + 4i

Sada tražimo $z = a + bi$ iz prve opcije $(a + bi)^2 = 3 - 4i .$ Postavljamo sistem:

\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = -4 \\ a^2 + b^2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo $2a^2 = 8 \implies a = \pm 2$ i $2b^2 = 2 \implies b = \pm 1 .$ Zbog $2ab = -4 ,$ rešenja su:

z_1 = 2 - i, \quad z_2 = -2 + i

Sada tražimo $z = a + bi$ iz druge opcije $(a + bi)^2 = -3 + 4i .$ Postavljamo sistem:

\begin{cases} a^2 - b^2 = -3 \\ 2ab = 4 \\ a^2 + b^2 = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \end{cases}

Rešavanjem dobijamo $2a^2 = 2 \implies a = \pm 1$ i $2b^2 = 8 \implies b = \pm 2 .$ Zbog $2ab = 4 ,$ rešenja su:

z_3 = 1 + 2i, \quad z_4 = -1 - 2i

Konačan skup rešenja čine četiri kompleksna broja:

z \in \{2 - i, -2 + i, 1 + 2i, -1 - 2i\}

Započni učenje

Privatni časovi

106

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci