1385.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti module kompleksnih brojeva:

z=(2−i)(1+i)3−iz = \frac{(2 - i)(1 + i)}{3 - i}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravilo za modul količnika i proizvoda kompleksnih brojeva. Modul izraza jednak je količniku proizvoda modula pojedinačnih faktora:

∣z∣=∣(2−i)(1+i)3−i∣=∣2−i∣⋅∣1+i∣∣3−i∣|z| = \left| \frac{(2 - i)(1 + i)}{3 - i} \right| = \frac{|2 - i| \cdot |1 + i|}{|3 - i|}

Podsećamo se definicije modula kompleksnog broja z=a+bi: z = a + bi :

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Računamo modul svakog kompleksnog broja pojedinačno:

{∣2−i∣=22+(−1)2=4+1=5∣1+i∣=12+12=1+1=2∣3−i∣=32+(−1)2=9+1=10\begin{cases} |2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \\ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\ |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \end{cases}

Uvrštavamo dobijene vrednosti u početnu formulu:

∣z∣=5⋅210|z| = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{10}}

Sređujemo izraz u brojiocu koristeći pravilo za koren proizvoda:

∣z∣=5⋅210=1010|z| = \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}

Konačnim deljenjem dobijamo vrednost modula:

∣z∣=1|z| = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti