1376. Kompleksni brojevi

Prvo ćemo posebno transformisati brojilac i imenilac koristeći osobine stepenovanja.

z = \frac{((1 - i)^2)^2 \cdot (1 - i)}{((1 + i)^2)^2}

Računamo vrednosti kvadrata binoma $(1-i)^2$ i $(1+i)^2 .$

(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \\ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u izraz za $z .$

z = \frac{(-2i)^2 \cdot (1 - i)}{(2i)^2} = \frac{4i^2 \cdot (1 - i)}{4i^2}

Skraćivanjem razlomka dobijamo algebarski oblik kompleksnog broja.

z = 1 - i

Sada računamo modul kompleksnog broja $z = a + bi$ po formuli $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} .$

|z| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2}

Konačan rezultat za modul je:

|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

Napomena: Zadatak se može rešiti i direktnom primenom osobina modula bez prethodnog sređivanja izraza.

|z| = \frac{|1 - i|^5}{|1 + i|^4} = \frac{(\sqrt{1^2 + (-1)^2})^5}{(\sqrt{1^2 + 1^2})^4} = \frac{(\sqrt{2})^5}{(\sqrt{2})^4} = \sqrt{2}

89.b