1375.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti module kompleksnih brojeva:

z=(1−i1+i)3z = \left(\frac{1 - i}{1 + i}\right)^3
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojednostaviti izraz unutar zagrade. Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovanim brojem imenioca 1−i. 1 - i .

1−i1+i⋅1−i1−i\frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}

Množimo izraze u brojiocu i imeniocu. U brojiocu dobijamo kvadrat binoma, a u imeniocu razliku kvadrata.

(1−i)212−i2=1−2i+i21−(−1)\frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - (-1)}

Koristeći činjenicu da je i2=−1, i^2 = -1 , sređujemo izraz.

1−2i−11+1=−2i2=−i\frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i

Sada zamenjujemo dobijenu vrednost u početni izraz za z z i vršimo stepenovanje.

z=(−i)3=(−1)3⋅i3=−1⋅(−i)=iz = (-i)^3 = (-1)^3 \cdot i^3 = -1 \cdot (-i) = i

Računamo modul kompleksnog broja z=i. z = i . Opšta formula za modul broja z=a+bi z = a + bi je ∣z∣=a2+b2. |z| = \sqrt{a^2 + b^2} .

∣z∣=∣0+1i∣=02+12|z| = |0 + 1i| = \sqrt{0^2 + 1^2}

Konačna vrednost modula je:

∣z∣=1=1|z| = \sqrt{1} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti