1374.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti module kompleksnih brojeva:

z=(1+i)13(1−i)7z = \frac{(1 + i)^{13}}{(1 - i)^7}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojednostaviti izraz stepenovanjem binoma u brojiocu i imeniocu. Primetićemo da je (1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i. (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i . Koristeći ovo, transformišemo brojilac:

(1+i)13=((1+i)2)6⋅(1+i)=(2i)6⋅(1+i)(1 + i)^{13} = ((1 + i)^2)^6 \cdot (1 + i) = (2i)^6 \cdot (1 + i)

Računamo vrednost brojioca dalje, znajući da je i6=(i2)3=(−1)3=−1: i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1 :

26⋅i6⋅(1+i)=64⋅(−1)⋅(1+i)=−64(1+i)2^6 \cdot i^6 \cdot (1 + i) = 64 \cdot (-1) \cdot (1 + i) = -64(1 + i)

Slično transformišemo imenilac. Primetićemo da je (1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1=−2i: (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i :

(1−i)7=((1−i)2)3⋅(1−i)=(−2i)3⋅(1−i)(1 - i)^7 = ((1 - i)^2)^3 \cdot (1 - i) = (-2i)^3 \cdot (1 - i)

Računamo vrednost imenioca, znajući da je i3=−i: i^3 = -i :

(−2)3⋅i3⋅(1−i)=−8⋅(−i)⋅(1−i)=8i(1−i)=8i−8i2=8i+8(-2)^3 \cdot i^3 \cdot (1 - i) = -8 \cdot (-i) \cdot (1 - i) = 8i(1 - i) = 8i - 8i^2 = 8i + 8

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti u polazni razlomak i vršimo skraćivanje:

z=−64(1+i)8(1+i)=−648=−8z = \frac{-64(1 + i)}{8(1 + i)} = \frac{-64}{8} = -8

Pošto je rezultat realan broj z=−8, z = -8 , on se može zapisati u algebarskom obliku kao z=−8+0i. z = -8 + 0i . Modul ovog kompleksnog broja računamo po formuli ∣z∣=a2+b2: |z| = \sqrt{a^2 + b^2} :

∣z∣=(−8)2+02=64=8|z| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8

Napomena: Zadatak se mogao rešiti i direktno primenom osobina modula bez prethodnog sređivanja celog izraza, koristeći pravilo da je modul količnika jednak količniku modula, a modul stepena jednak stepenu modula:

∣z∣=∣1+i∣13∣1−i∣7=(12+12)13(12+(−1)2)7=(2)13(2)7=(2)6=23=8|z| = \frac{|1+i|^{13}}{|1-i|^7} = \frac{(\sqrt{1^2+1^2})^{13}}{(\sqrt{1^2+(-1)^2})^7} = \frac{(\sqrt{2})^{13}}{(\sqrt{2})^7} = (\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti