Moduo količnika (1 + i) na 13 i (1 - i) na 7

Prvo ćemo pojednostaviti izraz stepenovanjem binoma u brojiocu i imeniocu. Primetićemo da je $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i .$ Koristeći ovo, transformišemo brojilac:

(1 + i)^{13} = ((1 + i)^2)^6 \cdot (1 + i) = (2i)^6 \cdot (1 + i)

Računamo vrednost brojioca dalje, znajući da je $i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1 :$

2^6 \cdot i^6 \cdot (1 + i) = 64 \cdot (-1) \cdot (1 + i) = -64(1 + i)

Slično transformišemo imenilac. Primetićemo da je $(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i :$

(1 - i)^7 = ((1 - i)^2)^3 \cdot (1 - i) = (-2i)^3 \cdot (1 - i)

Računamo vrednost imenioca, znajući da je $i^3 = -i :$

(-2)^3 \cdot i^3 \cdot (1 - i) = -8 \cdot (-i) \cdot (1 - i) = 8i(1 - i) = 8i - 8i^2 = 8i + 8

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti u polazni razlomak i vršimo skraćivanje:

z = \frac{-64(1 + i)}{8(1 + i)} = \frac{-64}{8} = -8

Pošto je rezultat realan broj $z = -8 ,$ on se može zapisati u algebarskom obliku kao $z = -8 + 0i .$ Modul ovog kompleksnog broja računamo po formuli $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} :$

|z| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8

Napomena: Zadatak se mogao rešiti i direktno primenom osobina modula bez prethodnog sređivanja celog izraza, koristeći pravilo da je modul količnika jednak količniku modula, a modul stepena jednak stepenu modula:

|z| = \frac{|1+i|^{13}}{|1-i|^7} = \frac{(\sqrt{1^2+1^2})^{13}}{(\sqrt{1^2+(-1)^2})^7} = \frac{(\sqrt{2})^{13}}{(\sqrt{2})^7} = (\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8

Započni učenje

Privatni časovi

89.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci