1368.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati:

(4i3−1)12\left(\frac{4}{i\sqrt{3} - 1}\right)^{12}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo racionalisanje imenioca unutar zagrade množenjem brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem imenioca −i3−1. -i\sqrt{3} - 1 .

4−1+i3⋅−1−i3−1−i3\frac{4}{-1 + i\sqrt{3}} \cdot \frac{-1 - i\sqrt{3}}{-1 - i\sqrt{3}}

Sređujemo imenilac koristeći razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .

4(−1−i3)(−1)2−(i3)2=4(−1−i3)1−(i2⋅3)\frac{4(-1 - i\sqrt{3})}{(-1)^2 - (i\sqrt{3})^2} = \frac{4(-1 - i\sqrt{3})}{1 - (i^2 \cdot 3)}

Pošto je i2=−1, i^2 = -1 , imenilac postaje 1−(−3)=4. 1 - (-3) = 4 . Skraćivanjem broja 4 dobijamo uprošćen izraz.

4(−1−i3)1+3=4(−1−i3)4=−1−i3\frac{4(-1 - i\sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{4(-1 - i\sqrt{3})}{4} = -1 - i\sqrt{3}

Sada treba da stepenujemo dobijeni izraz na 12. stepen. Prvo računamo kvadrat ovog izraza:

(−1−i3)2=(−1)2+2(−1)(−i3)+(i3)2(-1 - i\sqrt{3})^2 = (-1)^2 + 2(-1)(-i\sqrt{3}) + (i\sqrt{3})^2

Sređujemo dobijeni kvadrat:

1+2i3−3=−2+2i3=2(−1+i3)1 + 2i\sqrt{3} - 3 = -2 + 2i\sqrt{3} = 2(-1 + i\sqrt{3})

Računamo treći stepen (kub) početnog izraza koristeći kvadrat koji smo već izračunali:

(−1−i3)3=(−1−i3)2⋅(−1−i3)=(−2+2i3)(−1−i3)(-1 - i\sqrt{3})^3 = (-1 - i\sqrt{3})^2 \cdot (-1 - i\sqrt{3}) = (-2 + 2i\sqrt{3})(-1 - i\sqrt{3})

Množimo zagrade:

2+2i3−2i3−2i2(3)=2−6(−1)=2+6=82 + 2i\sqrt{3} - 2i\sqrt{3} - 2i^2(3) = 2 - 6(-1) = 2 + 6 = 8

Sada kada znamo da je (−1−i3)3=8, (-1 - i\sqrt{3})^3 = 8 , možemo lako izračunati 12. stepen koristeći pravila za stepenovanje stepena.

((−1−i3)3)4=84((-1 - i\sqrt{3})^3)^4 = 8^4

Računamo konačnu vrednost:

84=(23)4=212=40968^4 = (2^3)^4 = 2^{12} = 4096

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti