1366.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati:

(a+bi)2a−bi−(a−bi)2a+bi,a2+b2≠0\frac{(a + bi)^2}{a - bi} - \frac{(a - bi)^2}{a + bi}, \quad a^2 + b^2 \neq 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo svodimo oba razlomka na zajednički imenilac, koji je proizvod (a−bi)(a+bi). (a - bi)(a + bi) . Koristimo razliku kvadrata za imenilac.

(a+bi)3−(a−bi)3(a−bi)(a+bi)\frac{(a + bi)^3 - (a - bi)^3}{(a - bi)(a + bi)}

Imenilac postaje a2−(bi)2=a2+b2. a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 . U brojocu primenjujemo formule za kub zbira i kub razlike.

(a3+3a2bi+3a(bi)2+(bi)3)−(a3−3a2bi+3a(bi)2−(bi)3)a2+b2\frac{(a^3 + 3a^2bi + 3a(bi)^2 + (bi)^3) - (a^3 - 3a^2bi + 3a(bi)^2 - (bi)^3)}{a^2 + b^2}

Sređujemo izraze u brojocu, vodeći računa da je i2=−1 i^2 = -1 i i3=−i. i^3 = -i .

(a3+3a2bi−3ab2−b3i)−(a3−3a2bi−3ab2+b3i)a2+b2\frac{(a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i) - (a^3 - 3a^2bi - 3ab^2 + b^3i)}{a^2 + b^2}

Oslobađamo se zagrada i oduzimamo odgovarajuće članove. Vidimo da se a3 a^3 i −3ab2 -3ab^2 potiru.

a3+3a2bi−3ab2−b3i−a3+3a2bi+3ab2−b3ia2+b2\frac{a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i - a^3 + 3a^2bi + 3ab^2 - b^3i}{a^2 + b^2}

Sabiramo preostale članove u brojocu.

6a2bi−2b3ia2+b2\frac{6a^2bi - 2b^3i}{a^2 + b^2}

Izvlačimo zajednički faktor 2bi 2bi ispred zagrade da bismo dobili finalni oblik rezultata.

2bi(3a2−b2)a2+b2\frac{2bi(3a^2 - b^2)}{a^2 + b^2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti