1363.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati:

(x+i)3−(x−i)3(x+i)2−(x−i)2,x≠±i,x≠0\frac{(x + i)^3 - (x - i)^3}{(x + i)^2 - (x - i)^2}, \quad x \neq \pm i, \quad x \neq 0
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formule za kub zbira i kub razlike u brojiocu, kao i kvadrat zbira i kvadrat razlike u imeniocu. Podsetimo se da je i2=−1 i^2 = -1 i i3=−i. i^3 = -i .

(x3+3x2i+3xi2+i3)−(x3−3x2i+3xi2−i3)(x2+2xi+i2)−(x2−2xi+i2)\frac{(x^3 + 3x^2i + 3xi^2 + i^3) - (x^3 - 3x^2i + 3xi^2 - i^3)}{(x^2 + 2xi + i^2) - (x^2 - 2xi + i^2)}

Sređujemo izraze unutar zagrada koristeći činjenicu da je i2=−1. i^2 = -1 .

(x3+3x2i−3x−i)−(x3−3x2i−3x+i)(x2+2xi−1)−(x2−2xi−1)\frac{(x^3 + 3x^2i - 3x - i) - (x^3 - 3x^2i - 3x + i)}{(x^2 + 2xi - 1) - (x^2 - 2xi - 1)}

Oslobađamo se zagrada u brojiocu i imeniocu, pazeći na promenu znaka ispred druge zagrade.

x3+3x2i−3x−i−x3+3x2i+3x−ix2+2xi−1−x2+2xi+1\frac{x^3 + 3x^2i - 3x - i - x^3 + 3x^2i + 3x - i}{x^2 + 2xi - 1 - x^2 + 2xi + 1}

Potiremo suprotne članove u brojiocu (x3 x^3 i −x3, -x^3 , kao i −3x -3x i 3x 3x ) i u imeniocu (x2 x^2 i −x2, -x^2 , kao i −1 -1 i 1 1 ).

6x2i−2i4xi\frac{6x^2i - 2i}{4xi}

Izvlačimo zajednički faktor 2i 2i u brojiocu kako bismo skratili razlomak.

2i(3x2−1)4xi\frac{2i(3x^2 - 1)}{4xi}

Skraćivanjem izraza sa 2i 2i (pošto je i≠0 i \neq 0 ), dobijamo konačan rezultat.

3x2−12x\frac{3x^2 - 1}{2x}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti