1361. Kompleksni brojevi

Prvo računamo vrednosti izraza $(1 + i)^2$ i $(1 - i)^2$ jer će nam one olakšati stepenovanje kompleksnih brojeva.

(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \\ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Sada transformišemo stepene u brojiocu i imeniocu koristeći dobijene rezultate.

(1 + i)^{100} = ((1 + i)^2)^{50} = (2i)^{50} \\ (1 - i)^{96} = ((1 - i)^2)^{48} = (-2i)^{48} \\ (1 + i)^{98} = ((1 + i)^2)^{49} = (2i)^{49}

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz i uprošćavamo stepene broja $i .$

\frac{(2i)^{50}}{(-2i)^{48} - i(2i)^{49}}

Izvlačimo zajednički faktor $2^{48}$ u imeniocu i primenjujemo osobine stepenovanja.

\frac{2^{50} \cdot i^{50}}{2^{48} \cdot i^{48} - i \cdot 2^{49} \cdot i^{49}} = \frac{2^{50} \cdot i^{50}}{2^{48} \cdot i^{48} - 2^{49} \cdot i^{50}}

Znamo da je $i^{48} = (i^4)^{12} = 1$ i $i^{50} = i^{48} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 .$ Uvrštavamo ove vrednosti.

\frac{2^{50} \cdot (-1)}{2^{48} \cdot 1 - 2^{49} \cdot (-1)} = \frac{-2^{50}}{2^{48} + 2^{49}}

Faktorišemo imenilac izvlačenjem $2^{48}$ ispred zagrade i skraćujemo razlomak.

\frac{-2^{50}}{2^{48}(1 + 2^1)} = \frac{-2^{50}}{2^{48} \cdot 3} = \frac{-2^2}{3} = -\frac{4}{3}

1361.Kompleksni brojevi