1325.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odredi realne brojeve x x i y y iz sledeće jednačine sa kompleksnim brojevima:

(x+iy)(1+2i)=1−2i(x + iy)(1 + 2i) = 1 - 2i
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rešavanju je izolacija kompleksnog izraza x+iy. x + iy . To postižemo deljenjem cele jednačine sa 1+2i. 1 + 2i .

x+iy=1−2i1+2ix + iy = \frac{1 - 2i}{1 + 2i}

Sledeći korak je racionalisanje imenioca. Množimo i brojilac i imenilac konjugovano kompleksnim brojem imenioca, što je u ovom slučaju 1−2i. 1 - 2i .

x+iy=1−2i1+2i⋅1−2i1−2ix + iy = \frac{1 - 2i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i}

Računamo proizvod u brojiocu koristeći distributivni zakon, a u imeniocu primenjujemo obrazac za razliku kvadrata uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

x+iy=1−2i−2i+4i212−(2i)2x + iy = \frac{1 - 2i - 2i + 4i^2}{1^2 - (2i)^2}

Zamenjujemo i2 i^2 sa −1 -1 i sređujemo izraz.

x+iy=1−4i−41+4x + iy = \frac{1 - 4i - 4}{1 + 4}

Sređivanjem dobijamo finalni oblik kompleksnog broja na desnoj strani.

x+iy=−3−4i5x + iy = \frac{-3 - 4i}{5}

Razdvajamo realni i imaginarni deo razlomka.

x+iy=−35−i45x + iy = -\frac{3}{5} - i\frac{4}{5}

Na osnovu definicije jednakosti dva kompleksna broja, izjednačavamo realne delove sa realnim, a imaginarne sa imaginarnim.

{x=−35y=−45\begin{cases} x = -\frac{3}{5} \\ y = -\frac{4}{5} \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti