1319.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z: z :

z=(1+2i)2−(1−i)3(3+2i)3−(2+i)2z = \frac{(1 + 2i)^2 - (1 - i)^3}{(3 + 2i)^3 - (2 + i)^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednosti u brojiocu. Razvijamo kvadrat binoma i kub binoma.

(1+2i)2=1+4i+4i2=1+4i−4=−3+4i(1−i)3=1−3i+3i2−i3=1−3i−3+i=−2−2i(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \\ (1 - i)^3 = 1 - 3i + 3i^2 - i^3 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

Sređujemo brojilac oduzimanjem dobijenih vrednosti:

B=(−3+4i)−(−2−2i)=−3+4i+2+2i=−1+6iB = (-3 + 4i) - (-2 - 2i) = -3 + 4i + 2 + 2i = -1 + 6i

Sada računamo vrednosti u imeniocu. Razvijamo kub binoma i kvadrat binoma.

(3+2i)3=33+3⋅32⋅2i+3⋅3⋅(2i)2+(2i)3=27+54i−36−8i=−9+46i(2+i)2=4+4i+i2=4+4i−1=3+4i(3 + 2i)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot 2i + 3 \cdot 3 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i - 36 - 8i = -9 + 46i \\ (2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i

Sređujemo imenilac oduzimanjem dobijenih vrednosti:

I=(−9+46i)−(3+4i)=−9+46i−3−4i=−12+42iI = (-9 + 46i) - (3 + 4i) = -9 + 46i - 3 - 4i = -12 + 42i

Formiramo kompleksan broj z z i uprošćavamo razlomak deljenjem brojioca i imenioca sa 3 pre daljeg rada.

z=−1+6i−12+42i=−1+6i3(−4+14i)z = \frac{-1 + 6i}{-12 + 42i} = \frac{-1 + 6i}{3(-4 + 14i)}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem imenioca.

z=−1+6i6(−2+7i)⋅−2−7i−2−7i=2+7i−12i−42i26(4+49)=2−5i+426⋅53z = \frac{-1 + 6i}{6(-2 + 7i)} \cdot \frac{-2 - 7i}{-2 - 7i} = \frac{2 + 7i - 12i - 42i^2}{6(4 + 49)} = \frac{2 - 5i + 42}{6 \cdot 53}

Finalni proračun kompleksnog broja u algebarskom obliku.

z=44−5i318=44318−5318i=22159−5318iz = \frac{44 - 5i}{318} = \frac{44}{318} - \frac{5}{318}i = \frac{22}{159} - \frac{5}{318}i

Izdvajamo realni i imaginarni deo.

Re(z)=22159,Im(z)=−5318\text{Re}(z) = \frac{22}{159}, \quad \text{Im}(z) = -\frac{5}{318}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti