1316.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza sa kompleksnim brojevima:

(1−i)21+i−(1−i)31+i\frac{(1 - i)^2}{1 + i} - \frac{(1 - i)^3}{1 + i}
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednost kvadrata binoma (1−i)2 (1 - i)^2 koristeći formulu (a−b)2=a2−2ab+b2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 , uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

(1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1=−2i(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Sada računamo vrednost trećeg stepena (1−i)3 (1 - i)^3 koristeći prethodni rezultat.

(1−i)3=(1−i)2⋅(1−i)=−2i(1−i)=−2i+2i2=−2i−2(1 - i)^3 = (1 - i)^2 \cdot (1 - i) = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2

Zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz i pošto su imenioci isti, oduzimamo brojioce.

−2i1+i−−2−2i1+i=−2i−(−2−2i)1+i=−2i+2+2i1+i=21+i\frac{-2i}{1 + i} - \frac{-2 - 2i}{1 + i} = \frac{-2i - (-2 - 2i)}{1 + i} = \frac{-2i + 2 + 2i}{1 + i} = \frac{2}{1 + i}

Vršimo racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano kompleksnim brojem imenioca 1−i. 1 - i .

21+i⋅1−i1−i=2(1−i)12−i2\frac{2}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2(1 - i)}{1^2 - i^2}

Sređujemo imenilac koristeći identitet i2=−1 i^2 = -1 i skraćujemo razlomak.

2(1−i)1−(−1)=2(1−i)2=1−i\frac{2(1 - i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1 - i)}{2} = 1 - i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti