1315.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost kompleksnog izraza:

z=(2−3i)(3+4i)+1−i1+i+(2+i)2+(1+i)4z = (2 - 3i)(3 + 4i) + \frac{1 - i}{1 + i} + (2 + i)^2 + (1 + i)^4
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo proizvod dva kompleksna broja (2−3i)(3+4i) (2 - 3i)(3 + 4i) koristeći distributivni zakon, uzimajući u obzir da je i2=−1: i^2 = -1 :

(2−3i)(3+4i)=6+8i−9i−12i2=6−i+12=18−i(2-3i)(3+4i) = 6 + 8i - 9i - 12i^2 = 6 - i + 12 = 18 - i

Zatim vršimo racionalisanje imenioca za razlomak 1−i1+i \frac{1-i}{1+i} množenjem brojioca i imenioca konjugovano kompleksnim brojem imenioca (1−i): (1-i) :

1−i1+i⋅1−i1−i=(1−i)212−i2=1−2i+i21+1\frac{1-i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{(1-i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 + 1}

Sređujemo dobijeni izraz razlomka:

1−2i−12=−2i2=−i\frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i

Računamo kvadrat binoma (2+i)2: (2 + i)^2 :

(2+i)2=22+2⋅2⋅i+i2=4+4i−1=3+4i(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i

Računamo četvrti stepen binoma (1+i)4 (1 + i)^4 kao kvadrat kvadrata:

(1+i)4=((1+i)2)2=(1+2i+i2)2=(1+2i−1)2=(2i)2(1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2 = (1 + 2i + i^2)^2 = (1 + 2i - 1)^2 = (2i)^2

Završavamo stepenovanje:

(2i)2=4i2=−4(2i)^2 = 4i^2 = -4

Sada sabiramo sve dobijene rezultate:

z=(18−i)+(−i)+(3+4i)+(−4)z = (18 - i) + (-i) + (3 + 4i) + (-4)

Grupisanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo konačan rezultat:

z=(18+3−4)+(−i−i+4i)=17+2iz = (18 + 3 - 4) + (-i - i + 4i) = 17 + 2i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti