1314.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost datog kompleksnog izraza:

i102+i101i100−i99\frac{i^{102} + i^{101}}{i^{100} - i^{99}}
REŠENJE ZADATKA

Ključno je razumeti da se vrednosti stepena imaginarne jedinice ciklično ponavljaju na svaka četiri stepena jer je i⁴ = 1. Zbog toga koristimo pravilo iⁿ = i^{4k+r} = iʳ, gde je r ostatak pri deljenju sa 4.

in={i4k=1i4k+1=ii4k+2=−1i4k+3=−ii^n = \begin{cases} i^{4k} = 1 \\ i^{4k+1} = i \\ i^{4k+2} = -1 \\ i^{4k+3} = -i \end{cases}

Sada svaki stepen iz zadatka svodimo na jedan od osnovna četiri oblika izdvajanjem najvećeg sadržaca broja 4:

i102=i4⋅25+2=i2=−1i101=i4⋅25+1=i1=ii100=i4⋅25=1i99=i4⋅24+3=i3=−i\begin{aligned} i^{102} &= i^{4 \cdot 25 + 2} = i^2 = -1 \\ i^{101} &= i^{4 \cdot 25 + 1} = i^1 = i \\ i^{100} &= i^{4 \cdot 25} = 1 \\ i^{99} &= i^{4 \cdot 24 + 3} = i^3 = -i \end{aligned}

Uvrštavamo izračunate vrednosti u početni razlomak:

−1+i1−(−i)=−1+i1+i\frac{-1 + i}{1 - (-i)} = \frac{-1 + i}{1 + i}

Vršimo racionalizaciju množenjem i brojioca i imenioca konjugovanim brojem imenioca (1 - i):

−1+i1+i⋅1−i1−i\frac{-1 + i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}

Sređujemo izraz množenjem zagrada u brojiocu i primenom razlike kvadrata u imeniocu:

−1+i+i−i212−i2=−1+2i−(−1)1−(−1)\frac{-1 + i + i - i^2}{1^2 - i^2} = \frac{-1 + 2i - (-1)}{1 - (-1)}

Konačnim sređivanjem dobijamo rezultat:

2i2=i\frac{2i}{2} = i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti