1305.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja:

z=3+i(2−i)2z = \frac{3 + i}{(2 - i)^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo kvadrirati izraz u imeniocu koristeći formulu za kvadrat razlike (a−b)2=a2−2ab+b2. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 . Podsećamo da je i2=−1. i^2 = -1 .

(2−i)2=22−2⋅2⋅i+i2=4−4i−1=3−4i(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

Sada kompleksni broj glasi:

z=3+i3−4iz = \frac{3 + i}{3 - 4i}

Vršimo racionalisanje imenioca tako što brojilac i imenilac množimo konjugovano kompleksnim brojem imenioca, a to je 3+4i. 3 + 4i .

z=3+i3−4i⋅3+4i3+4iz = \frac{3 + i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i}

Množimo izraze u brojiocu i imeniocu. U imeniocu koristimo razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .

z=9+12i+3i+4i232−(4i)2=9+15i−49−16i2z = \frac{9 + 12i + 3i + 4i^2}{3^2 - (4i)^2} = \frac{9 + 15i - 4}{9 - 16i^2}

Zamenjujemo i2=−1 i^2 = -1 i sređujemo izraz:

z=5+15i9+16=5+15i25z = \frac{5 + 15i}{9 + 16} = \frac{5 + 15i}{25}

Razdvajamo razlomak na realni i imaginarni deo i skraćujemo razlomke:

z=525+1525i=15+35iz = \frac{5}{25} + \frac{15}{25}i = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i

Očitavamo realni deo Re(z) \text{Re}(z) i imaginarni deo Im(z): \text{Im}(z) :

Re(z)=15,Im(z)=35\text{Re}(z) = \frac{1}{5}, \quad \text{Im}(z) = \frac{3}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti