Realni i imaginarni deo: (3 + i)/(2 - i) na kvadrat

Prvo ćemo kvadrirati izraz u imeniocu koristeći formulu za kvadrat razlike $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .$ Podsećamo da je $i^2 = -1 .$

(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

Sada kompleksni broj glasi:

z = \frac{3 + i}{3 - 4i}

Vršimo racionalisanje imenioca tako što brojilac i imenilac množimo konjugovano kompleksnim brojem imenioca, a to je $3 + 4i .$

z = \frac{3 + i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i}

Množimo izraze u brojiocu i imeniocu. U imeniocu koristimo razliku kvadrata $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .$

z = \frac{9 + 12i + 3i + 4i^2}{3^2 - (4i)^2} = \frac{9 + 15i - 4}{9 - 16i^2}

Zamenjujemo $i^2 = -1$ i sređujemo izraz:

z = \frac{5 + 15i}{9 + 16} = \frac{5 + 15i}{25}

Razdvajamo razlomak na realni i imaginarni deo i skraćujemo razlomke:

z = \frac{5}{25} + \frac{15}{25}i = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i

Očitavamo realni deo $\text{Re}(z)$ i imaginarni deo $\text{Im}(z) :$

\text{Re}(z) = \frac{1}{5}, \quad \text{Im}(z) = \frac{3}{5}

77.g