1304.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja z:

z=1−i3(1+i)3z = \frac{1 - i^3}{(1 + i)^3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo pojednostavljujemo brojilac koristeći osobinu stepena imaginarne jedinice i3=i2⋅i=−1⋅i=−i. i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i .

1−i3=1−(−i)=1+i1 - i^3 = 1 - (-i) = 1 + i

Sada izraz za z z možemo zapisati u jednostavnijem obliku i skratiti razlomak sa (1+i). (1 + i) .

z=1+i(1+i)3=1(1+i)2z = \frac{1 + i}{(1 + i)^3} = \frac{1}{(1 + i)^2}

Kvadriramo binom u imeniocu prema formuli (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

(1+i)2=12+2⋅1⋅i+i2=1+2i−1=2i(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Zamenjujemo dobijenu vrednost u izraz za z. z .

z=12iz = \frac{1}{2i}

Vršimo racionalisanje imenioca tako što brojilac i imenilac množimo sa i. i .

z=12i⋅ii=i2i2z = \frac{1}{2i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{2i^2}

Pošto je i2=−1, i^2 = -1 , dobijamo konačan oblik kompleksnog broja.

z=i2(−1)=−12iz = \frac{i}{2(-1)} = -\frac{1}{2}i

Iz dobijenog oblika z=0−12i z = 0 - \frac{1}{2}i očitavamo realni deo Re(z) \text{Re}(z) i imaginarni deo Im(z). \text{Im}(z) .

Re(z)=0,Im(z)=−12\text{Re}(z) = 0, \quad \text{Im}(z) = -\frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti