1295.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja:

z=1−35i7+5iz = \frac{1 - 3\sqrt{5}i}{7 + \sqrt{5}i}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili realni i imaginarni deo, potrebno je da kompleksni broj svedemo na algebarski oblik z=a+bi. z = a + bi . Prvi korak je racionalisanje imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem imenioca.

z=1−35i7+5i⋅7−5i7−5iz = \frac{1 - 3\sqrt{5}i}{7 + \sqrt{5}i} \cdot \frac{7 - \sqrt{5}i}{7 - \sqrt{5}i}

Množimo izraze u brojiocu i imeniocu. U imeniocu koristimo formulu za razliku kvadrata (a+bi)(a−bi)=a2+b2. (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 .

z=1⋅7−1⋅5i−35i⋅7+35i⋅5i72−(5i)2z = \frac{1 \cdot 7 - 1 \cdot \sqrt{5}i - 3\sqrt{5}i \cdot 7 + 3\sqrt{5}i \cdot \sqrt{5}i}{7^2 - (\sqrt{5}i)^2}

Sređujemo izraz koristeći činjenicu da je i2=−1. i^2 = -1 .

z=7−5i−215i+3⋅5⋅(−1)49−5⋅(−1)z = \frac{7 - \sqrt{5}i - 21\sqrt{5}i + 3 \cdot 5 \cdot (-1)}{49 - 5 \cdot (-1)}

Sabiramo realne i imaginarne delove u brojiocu i računamo vrednost u imeniocu.

z=7−15−225i49+5=−8−225i54z = \frac{7 - 15 - 22\sqrt{5}i}{49 + 5} = \frac{-8 - 22\sqrt{5}i}{54}

Razdvajamo razlomak na realni i imaginarni deo i skraćujemo razlomke sa 2.

z=−854−22554i=−427−11527iz = -\frac{8}{54} - \frac{22\sqrt{5}}{54}i = -\frac{4}{27} - \frac{11\sqrt{5}}{27}i

Na osnovu dobijenog oblika, očitavamo realni deo Re(z) \text{Re}(z) i imaginarni deo Im(z). \text{Im}(z) .

Re(z)=−427,Im(z)=−11527\text{Re}(z) = -\frac{4}{27}, \quad \text{Im}(z) = -\frac{11\sqrt{5}}{27}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti