1269.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja:

z=(1+i1−i)3z = \left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^3
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojednostaviti izraz unutar zagrade. Da bismo to uradili, vršimo racionalisanje imenioca tako što brojilac i imenilac množimo konjugovano-kompleksnim brojem imenioca, što je 1+i. 1 + i .

1+i1−i⋅1+i1+i\frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}

Računamo proizvod u brojiocu i imeniocu koristeći formulu za kvadrat binoma i razliku kvadrata.

(1+i)212−i2=1+2i+i21−(−1)\frac{(1 + i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)}

Zamenjujemo i2=−1 i^2 = -1 i sređujemo izraz.

1+2i−12=2i2=i\frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i

Sada dobijeni rezultat stepenujemo na treći stepen kako je dato u početnom zadatku.

z=i3z = i^3

Koristeći osobine stepena imaginarne jedinice, gde je i3=i2⋅i, i^3 = i^2 \cdot i , dobijamo konačnu vrednost kompleksnog broja.

z=−1⋅i=−iz = -1 \cdot i = -i

Iz dobijenog oblika z=0−1i, z = 0 - 1i , određujemo realni deo Re(z) \text{Re}(z) i imaginarni deo Im(z). \text{Im}(z) .

Re(z)=0,Im(z)=−1\text{Re}(z) = 0, \quad \text{Im}(z) = -1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti